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n'est pas de partie de la surface qui^e puisse être décrite par ce procédé. 

 De ce théorème on conclut évidemment le théorème analogue pour les 

 courbes gauches. 



» La méthode suivie permet d'assigner une limite supérieure du nombre 

 des articulations qu'exige la description d'une surface ou d'une courbe 

 donnée. Mais il est bien évident que des simplifications peuvent se pro- 

 duire. La prévision de ces simplifications est un problème difficile, qui n'a 

 même pas été tenté pour le cas des courbes planes algébriques au sujet 

 desquelles Kempe a cependant, depuis longtemps, démontre la possibilité 

 d'une description au moyen d'un système articulé. » 



GÉOMÉTRIE. — Sur les courbes de quatrième classe. Note de M, Georges 

 HuMBERT, présentée par M. Poincaré. 



« Dans deux Notes récemment publiées aux Comptes rendus, j'ai fait 

 connaître une surface du sixième ordre, S, définie analytiquement à l'aide 

 des fonctions abéliennes de genre 3 et reliée géométriquement à la surface 

 de Kummer : plusieurs propriétés de S conduisent à des propriétés corres- 

 pondantes de la courbe plane générale de quatrième classe et de la confi- 

 guration de Rummer, comme on va le montrer brièvement. 



» La surface S est déterminée quand on fixe une surface de Kummer K, 

 et un point extérieur O; elle admet O pour point triple et passe par les 

 12 bitangentes menées à K. par ce point; elle a pour ligne double la cu- 

 bique plane intersection de la première polaire et du plan polaire de O 

 par rapport à K, cubique qui est située sur le cône des tangentes à la sur- 

 face au point triple O. J'ai montré, par la théorie des fonctions abéliennes, 

 qu'on peut tracer, sur S, 62 courbes remarquables : 32 sont des cubiques 

 planes, situées par couples dans les 16 plans singuliers de R et dont cha- 

 cune passe par les six points doubles de R contenus dans son plan; les 

 trente autres sont des biquadratiques, passant par le point O et respec- 

 tivement par huit points doubles de R. Les 62 cônes de sommet O qui 

 ont les 62 courbes précédentes pour directrices sont d'ordre 3 ; un 

 soixante-troisième cône, G, du même ordre, est celui qui a pour sommet O 

 et pour base la cubique double de S : on définit ainsi 63 cônes cubiques 

 qui ont une signification géométrique importante par rapport au cône de 

 quatrième classe G, circonscrit à R à partir du point O. On sait, en effet, 

 que les 28 génératrices doubles d'un cône de quatrième classe sont situées 

 douze par douze sur 63 cônes cubiques de même sommet, qui sont, d'ail- 



