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leurs, les cônes caylèens des 63 systèmes de cônes du second ordre inscrits 

 au cône primitif: les 63 cônes définis plus haut sont précisément les cay- 

 lèens de G. 



» On obtient de celte manière une représentation géométrique synthé- 

 tique qui met en évidence des propriétés des cônes caylèens. Voici des 

 exemples : 



» Soient G, et G, deux cônes de sommet O, ayant pour bases respec- 

 tives deux cubiques de la surface S, situées dans un même plan singulier 

 de R : ces cubiques ont neuf points communs, dont six sont les points 

 doubles de K contenus dans leur plan et dont les trois autres sont évidem- 

 ment sur la cubique double de S, c'est-à-dire sur le cône G. Les trois der- 

 niers points sont d'ailleurs en ligne droite, puisque la cubique double est 

 plane. De là cette proposition, dont le premier paragraphe, indispensable 

 à l'énoncé, ne renferme rien de nouveau : 



» Les 28 points doubles d'une courbe plane de quatrième classe C sont situés, 

 douze par douze, sur 63 cubiques ; deux de ces cubiques ont en commun quatre 

 ou six points doubles. Si deux cubiques, y, e/y^, ont en commun six points 

 doubles de C, les six autres points doubles que contient chacune d'elles appar- 

 tiennent à une troisième cubique, y : 



» Les trois cubiques y, y,, yj ont trois points communs ; ces trois points sont 

 sur une droite, S. 



» A une cubique fixée y, on peut as.socier seize couples de cubiques telles 

 que y,, yo, ce qui donne seize droites S, jouissant de propriétés simples 

 qu'on déduit aisément de la représentation géométrique. Ainsi : 



» Les seize droites S, dérivées d'une cubique y, se coupent deux à deux en 

 120 points, qui sont respectivement sur les 120 droites joignant deux à deux 

 les seize points doubles de C, non situés sur y. 



» Les seize droites S sont doublement tangentes à une même courbe du qua- 

 trième ordre, qui touche la courbe C en douze points : ces douze points sont 

 ceux où la cubique y rencontre la courbe C, en dehors des points doubles de 

 celle-ci. 



» Les seize droites t peuvent, de seize manières différentes, se grouper en 

 systèmes de six droites tangentes à une même conique : les seize coniques ainsi 

 définies se groupent, de soixante manières, en systèmes de quatre courbes 

 bitangentes à une même conique. 



» Comme il y a en tout 336 associations de trois cubiques telles que 

 TîTt'Ta. le nombre total des droites S, pour une courbe de quatrième 

 classe, est de 336. 



