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MÉCANIQUE. — Toute surface algébrique peut être décrite par le moyen d'un 

 système articulé. Note de M. G. Kœmgs, présentée par M. Appell. 



« Ce théorème, émis par Sylvester, n'a jamais reçu de démonstration 

 rigoureuse. En voici une : 



» Deux corps sont dits articulés, si leur mouvement relatif se réduit à 

 une rotation autour d'un axe, fixe dans les deux corps, et appelé axe d'ar- 

 ticulation. Si l'un des corps est une tige assimilable à une droite, nous sup- 

 poserons toujours qu'elle coupe à angle droit l'axe d'articulation, et le 

 point de rencontre sera dit le point d'articulation. Si deux tiges s'articu- 

 lent entre elles, elles coupent au même point d'articulation l'axe d'articu- 

 lation. Ces suppositions n'ont rien d'essentiel, mais elles simplifient les 

 raisonnements. 



» Imaginons un corps A pouvant tourner librement autour d'un axe 

 Os, et une tige T s'articulant en O avec ce corps, de sorte que l'axe D d'ar- 

 ticulation soit rectangulaire avec O:;. Supposons, en outre, qu'une seconde 

 tige T' s'articule à l'extrémité de la lige T, l'axe de cette articulation étant 

 parallèle à l'axe D. Dans ces conditions, les tiges T, T' ne sortent pas du 

 plan n mené par Os et perpendiculaire à D. Appelons 0, 6' les angles avec 

 Os des tiges T et T'; a, a' les longueurs des liges T et T'. Imaginons deux 

 autres axes Ox, Oy rectangulaires entre eux et avec Os, et désignons par ç 

 l'angle du plan Ilavec sOa;. Les coordonnées de l'extrémité M de la tige T' 

 seront 



X = (asinô +a'sinÔ')cosç, y = (asinô + a'sinô') sinç, 

 z = acosO -}-a'cos6'. 



» Ceci posé, si le point M doit décrire une certaine surface algébrique S, 

 ses coordonnées x, y, s doivent vérifier une équation entière qui, par le 

 moyen des formules précédentes, pourra acquérir la forme 



(i) 2Ap,p',),,5,^sin(p9 + p'6'H-X)cos((jcp -f- [a) = o. 



» Dans cette formule, p, p', t désignent des nombres entiers, positifs ou 



négatifs; \, \j. représentent une des quantités o, x, -. et enfin App-^),_ff,(i 



est un coefficient constant positif. 



» Considérons d'abord les tiges T et T' dans le plan n. Kerape a montré 



