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» 3. Le seul carré qui devienne un cube, lorsqu'on lui ajoute f\t\, est 8i, 

 qui devient par cette addition le cube de 5. 



» 4. Le seul carré qui devienne un cube, lorsqu'on lui ajoute ii fois 

 le carré de 29 est 2916, qui devient par cette addition le cube de 23. 



» 5. Le carré 196 est le seul carré qui devienne un cube par l'addition 

 du nombre 3179; il devient alors le cube de i5. 



» 6. Si Ton ajoute 1 1 fois le carré de 37 à chacun des carrés i , t\, 9, etc, 

 une seule des sommes obtenues est égale à un cube, savoir 



(58)= +1.(37)^ = (59)\ 



» 7. Le seul carré qui devienne un cube lorsqu'on lui ajoute 11 fois le 

 carré de 97 est 324, qi'i devient par cette addition le cube de 47- 



» 8. Désignons par a l'un des nombres premiers 17, 29, 83, 107, 197, 

 233, 359, 827, 1217, 1487, i583, 1889, 1997, 2339, 2459, 2837, 2969, 

 3527, 4787, 5309, 6047, G833, 7883, 9479» 9719- Si l'on ajoute 1 1 fois le 

 carré or successivement k tous les carrés, une seule des sommes obtenues 

 est égale à un cube. 



» Ainsi, par exemple, le carré de 36o est le seul carré qui devienne un 

 cube lorsqu'on lui ajoute 11 fois le carré de 83; il devient par cette addi- 

 tion le cube de Sg. 



» Dans la suite indéfinie des carrés, il y en a un, mais un seul, qui de- 

 vient un cube lorsqu'on lui ajoute 11 fois le carré de 107. Ce carré est 

 celui de 544» qui devient par cette addition le cube de 75. 



» 9. Désignons par a l'un des nombres premiers inférieurs à 1000, ren- 

 fermés dans les formules 22/ + (7, i3, 17, 19, 21), sans être égal à l'un 

 des nombres énumérés dans le théorème précédent. Il n'existe aucun carré 

 qui devienne un cube lorsqu'on lui ajoute 1 1 fois le carré a^. 



» Nous donnerons une idée de l'étendue de ce théorème en indiquant 

 ceux des nombres inférieurs à 4oo auxquels il s'applique, savoir : 7, i3, 

 19, 4t, 43, 61, 73, 79, loi, 109, 127, i3i, 139, i5i, 167, 173, 193, 227, 

 239, 241, 263, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 337, 347, 349, 373. Pour 

 chacun de ces nombres, on peut énoncer un théorème semblable aux sui- 

 vants : 



» 10. Si l'on ajoute successivement les carrés i , 4? 9. '6, etc. au nombre 

 539, aucune des sommes obtenues n'est égale à un cube. 



» 11. On ne peut obtenir aucun cube en ajoutant 1859 à un carré. 

 » 12. Qu'on ajoute successivement tous les carrés au nombre 3971; 

 aucune des sommes n'est égale à un culje. 



