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 et à la droite E, dont nous avons donné les définitions et les propriétés 

 dans une Note précédente (séance du i6 avril 1893); f le nombre des in- 

 tersections confondues en O de la courbe Ag avec la surface Çp; w l'abais- 

 sement produit par le point O dans le rang de la courbe C, d'ordre n-, base 

 du faisceau (F). 



» Parmi les intersections de la courbe Aj. avec la surface Çp il y en a : 

 f confondues en O; 2rt-(/i — i) — (r qui se trouvent sur la courbe C en 

 des points distincts de O ; et 3 (n — 1 )- qui sont les points doubles du fais- 

 ceau de courbes planes, trace de (F) sur le plan PE. Or, une quel- 

 conque d des 



(2n — i)(n — i)(3« — i) — ^' — [2n'-{n — i) — w\ — 3{n — i)- 



intersections résiduelles de Ap et <pp est un point tel : 1° que le plan Ec? 

 touche en d la surface F^, du faisceau (F), passant par ce point; 2° que la 

 droite Prf touche au même point f/la môme surface F,;. Le point rf n'étant 

 pas dans le plan PE est nécessairement, d'après cela, un point double de 

 la surface F,;. On a donc 



Il = 4(« — i)' — \'{{n — i)' — r + d'] = v — IV. 



)) On obtient deux autres expressions du nombre u en supposant que la 

 droite E passe par le point O, ou bien que le point P coïncide avec O. A 

 cet effet, désignons par t»' le nombre des intersections confondues en O 

 d'une courbe gauche Ae-, correspondante à une droite générique E' pas- 

 sant par O, avec une surface générique Çp ; / le nombre des intersections 

 confondues en O d'une courbe gauche générique A^ avec la surface Ço; 

 »•' l'abaissement produit par le point O dans le nombre des plans tangents 

 que l'on peut mener à la courbe C par la droite E' ; U l'abaissement pro- 

 duit par le point O dans le nombre 3(n — i)'- des points doubles du faisceau 

 de courbes planes, trace de (F) sur un plan mené arbitrairement par O. 



» Parmi les intersections de Ag. avec Çp, il y en a : v' confondues en O; 

 2.n-{n — i) — w' qui se trouvent sur la courbe C en des points distincts 

 de O; et '5(n — i)^ — U qui sont les points doubles, en dehors de O, du 

 faisceau de courbes planes, trace de (F) sur le plan PE'. Il s'ensuit que 

 les intersections résiduelles d-e Aj;. et cpp, c'est-à-dire (voir plus haut) les 

 points doubles de (F) distincts de O, sont en nombre 



(2/1 — 1) (« — 1) (3n — i) — ç'' 



_.. [2rt-(rt - i) - tv'l - I 3(rt - ])- - UJ = 4(« - 0' - i^' + ^v'+U. 



