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 » On a donc 



M = 4(« - [)' - [4(n - i)' - c'-h w'-+- U] = <>'—»•'- U. 



« Parmi les intersections de Ap avec o^, il y en a : v" confondues en O ; 

 2n-(n— i) — (P qui se trouvent sur la courbe C en des points distincts deO, 

 et 3(« — i)- — U qui sont les points doubles, en dehors de O, du faisceau 

 de courbes planes, trace de (F) sur le plan OE. Il s'ensuit que les intersec- 

 tions résiduelles de Aj; et o^, savoir les points doubles de (F) distincts de O, 

 sont en nombre 



(zn -i){n — i)(3n — i) — ç" 



- [in-in - i) - (r| ~[3(n^ i)- - U] = \(n - i)^ - v"-h w + U. 



» On a donc 



«=4(n-i)'-[4(n -i)'- v"~-w ^\J] = v"-w-\]. 



» Les trois hypothèses donnent lieu à la proposition suivante : 



Théorème. — i:i un faisceau de surfaces algébriques possède, en un point O 

 de l'espace, une singularité base quelconque, l'abaissement produit par le 

 point O dans le nombre des points doubles du faisceau est égal : 



» a. Au nombre des intersections confondues en O d'une courbe gauche A^ 

 (générique) avec une sur/ace ç,, (générique), diminué de l'abaissement que le 

 point O produit dans le rang de la courbe gauche base du faisceau; ou bien 



» b. Au nombre des intersections confondues en O d'une courbe gauche Aj.,, 

 correspondante à une droite générique E' passant par O, avec une surface Op 

 (générique), diminué de l'abaissement que le point O produit dans le nombre 

 des plans tangents que l'on peut mener par la droite E' à la courbe gauche base 

 du faisceau, et diminué de l'abaissement que le point O produit dans le nombre 

 des points doubles du faisceau de courbes planes, trace du faisceau de surfaces 

 sur un plan mené arbitrairement par O ; ou bien : 



» c. Au nombre des intersections confondues en O d'une courbe gauche Aj. 

 (générique) avec la surface Ço, diminué de l'abaissement que le point O produit 

 dans le rang de la courbe gauche base du faisceau, et diminué de l'abaisse- 

 ment que le point O produit dans le nombre des points doubles du faisceau de 

 courbes planes, trace du faisceau de surfaces sur un plan mené arbitrairement 

 par O. 



» Exemple. — En supposant que la singularité base en O soit un 

 point (r)"P'^, tel que le cône tangent en O à la surface générique du fais- 



