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ALGÈBRE. — Sur les types de groupes de substitutions dont l'ordre e'o-ale 

 le degré. Note de M. R. Levavasseur, présentée par M. Picard. 



« On sait l'importance qu'il y a à trouver tous les types de groupes i2 

 dont l'ordre égale le degré. M. l^eito (Substitution en théorie, § 89, 90, 123) 

 a indiqué les types d'ordres /?,/J^/?fy, ;? et q étant des nombres premiers 

 différents (/? ]> y). 



» J'ai cherché tous les types correspondant aux ordres p^,p'q, pq', 

 pqr; p, q el r étant trois nombres premiers différents, tels qu'on ait 

 P> q'>t- ^'oici les résultats en omettant de mentionner les groupes cy- 

 cliques. 



» Soit d'abord R =/j' {p premier impair). 



/' 

 » Un type G; sera engendré par les substitutions S — ¥1 {Xh^^h2---^hp^) 



p' 



etT = 



(•^f.A x.,_k---^p,k); il contient p-(p — i) substitutions d'ordre />% 



p'^ — I d'ordre p, et la substitution identique. 



» Un autre type, G3, sera engendré par les substitutions 



p- 



I' h I. 



p r 



» Il contient /?=> — i substitutions d'ordre p, et la substitution identique. 



') Soit R=p-q; un type Go sera engendré par les substitutions 

 '/ ''' 



^ '=ll/^/n^^2-.-^î'Ay)et T =|~[^(j;,_^.a-,,,^,,(_,,„a;3,,_^(4_,,„^...a;y,,^,;i_,,„7-.), 



/• Â 



où a est une racine de la congruence a?^i i(modp-), ce qui exige que q 

 divise (p — i). 



» Si a n'est pas congru à i (modyo), G, contient p-(q — i) substitu- 

 tions d'ordre q, p(p — 1) d'ordre />%(/> — i) d'ordre p, et la substitution 

 identique. 



» Si l'on a a^ELi(modp), G., conlienl p (p — i) q — 1) substitutions 

 d'ordre pq, p(q — i) d'ordre q, p(p — i) d'ordre p-, (p — i) d'ordre/?, et 

 la substilution identique. 



