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ont une solution commune dépendant d'une fonction arbitraire, dont l'ar- 

 gument sera x. La recherche de cette solution dépend d'ailleurs de l'étude 

 d'un système d'équations différentielles ordinaires. 



» Nous avons donc un type d'équations aux dérivées partielles de 

 deuxième ordre admettant une intégrale intermédiaire du troisième ordre, 

 que l'on obtiendra en remplaçant dans l'équation (2) ç par la solution 

 générale de l'équation (3). » 



MÉCANIQUE. — Sur la rotation des solides. Note de M. R. Lio«ville, 

 présentée par M. Poincaré. 



« Le mouvement d'un solide, soumis à la pesanteur et fixé par l'un 

 de ses points, a pu être étudié dans plusieurs cas, lorsque l'ellipsoïde 

 d'inertie relatif au point fixe est une surface de révolution ; mais on ne pos- 

 sède qu'un seul résultat concernant les cas où l'ellipsoïde d'inertie demeure 

 quelconque : c'est un théorème de M. Poincaré, nous apprenant qu'une 

 quatrième intégrale uniforme, si elle existe, ne peut être algébrique. Cette 

 proposition est de nature à mettre en évidence bien des difficultés du pro- 

 blème. Il n'est pas sans importance, pour leur étude, de connaître certains 

 résultats particuliers; aussi ai-je pensé qu'il y avait intérêt à signaler un 

 cas dans lequel, sans avoir obtenu jusqu'à présent la solution générale, j'ai 

 pu cependant calculer une solution qui dépend de cinq constantes arbi- 

 traires (au lieu de six). En d'autres termes, si le point de suspension est 

 placé comme je le vais indiquer, et quelle que soit la forme de l'ellipsoïde 

 d'inertie ayant son centre au point fixe, il suffit que les données initiales 

 du mouvement satisfassent à une seule condition facile à vérifier, pour que 

 le mouvement ultérieur puisse être prévu et la position du solitle déter- 

 minée après un temps quelconque. Voici comment peut être défini le cas 

 dont il s'agit : 



» Je considère au point fixe la polaire réciproque de l'ellipsoïde d'inertie 

 par rapport à son centre, et, dans ce deuxième ellipsoïde, dont les ares sont 

 inverses de ceux du premier, je mène l'un des plans cyclirjues, le ptlan bissec- 

 teur du dièdre principal où il est compris et qui a pour arête l'axe moyen, le 

 plan principal perpendiculaire à cet axe moyen. A la trace du plan cyclique 

 sur le plan principal je fais correspondre une droite, symétrique par rapport 

 au plan bissecteur; c'est sur cette droite que je suppose situé le centre de gra- 

 vité du solide. Je prends ensuite r ombilic conjugué du plan cyclique, le plan qui 



