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 » De plus, les trois intégrales communes à tous les cas deviennent 



J';-+-J2^B(2jxs, + H), J,^:,+7,^, = II,, z; -^ x; -h z; = H„ 



H, H,, Ho étant des constantes arbitraires. On en déduit 



en sorte que s, s'exprime par une fonction de t, elliptique et de première 

 espèce; il résulte en outre de (3), 



7i -+- J2 



« )-.ï'-r,i-' = (/;+r»^/ 



» Avec ces notations, — = lang^O, X = tangO, B(2;/.:;, j- H) = Z^ 

 l'équation précédente s'écrit encore 



» On a plusieurs moyens de la rattacher à une équation linéaire, dont 

 les coefficients soient uniformes et doublement périodiques. L'une des 

 transformées, dans laquelle la variable est t, se prête mieux à l'étude des 

 fonctions inconnues jiour l'ensemble des valeurs, réelles ou imaginaires, 

 de /, mais elle met moins en évidence les propriétés les plus intéressantes 

 quand la variable reste réelle. On obtient, au contraire, une transformée 



commode à ce point de vue, si l'on pose clz = -^, X = -^ i-^; c'est la 

 suivante 



(Pu^ ^dii\i dio^lP- ^ B,aY„2 



^ ^ (Pu du r 



^"^^ 'd? '^ 7F. \_i d'. ' AG 



et, comme d'ailleurs, 





22 _ ___I2H?|X- 



4H.|J.2— IP-I2J31 



ses coefficients sont uniformes et doublement périodiques ('). Les points 

 critiques sont zéro et les deux valeurs ±t, qui rendent Z- infinie. Ces 

 dernières sont imaginaires et répondent à des valeurs imaginaires de t. Les 

 circonstances les plus simples ne se présentent jamais, quand les données 



(') En ce qui concerne les fonctions elliptiques, les notations sont celles d'Hal- 

 phen. 



