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THÉORIE DES NOMBRES. — Démonstration d'un théorème fie Tchébychef. 

 (Extrait des papiers laissés par l'auteur.) Note de M. Andrk Markoff. 

 (Lettre adressée à M. Hermite.) 



« Dans votre Cours vous mentionnez une proposition remarquable de 

 Tchébychef sur les diviseurs premiers des nombres de la forme /i* + i . 

 » Cette proposition peut être énoncée ainsi : 

 » Soit [7. le plus grand diviseur premier des nombres 



T + 2^ I + 4S I + 6^ ..., i + 4N^ 



le rapport 



N 

 croit infiniment avec N. 



» En profitant d'un fragment trouvé parmi les papiers de Tchébychef 

 (une copie photographique de ce fragment est annexée à ma Lettre), on 

 peut rétablir la démonstration de la proposition de Tchébychef. 



» Dans ce but, nous considérons la somme 



log(i + 2^) + log(i -f. 4-=) 4- . . . + log(, + ^W) =2 log(i + 4^') 



égale à une somme composée des logarithmes des nombres premiers de la 

 forme 4"' + i 



^\o^{^ + ^oo^) ='^k,\o^cj (y = 5,i3, i;,...,,.). 



« Quant au multiplicateur kg, il est égal à la somme des nombres des 

 solutions des congruences 



^ -\- f\x^^EEio (mod.y), 



) + 4'î^°^^^o (mo(l.(7^), 



X étant plus petit que N -I- i . 



)> Or le nombre des solutions de la congruence 



i-l-4^'^o (mod.ç'*), 



satisfaisant à la condition 



