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 ou bien des points de contact de plans menés par E et tangents à la 

 courbe C, il s'ensuit que, d'après les hypothèses, l'expression du rang de 

 la courbe C conduit à l'une ou l'autre des relations suivantes : 



nn'(n + «' — ^) — y = n [(n + n — i)- — nn'^ ~ i — [n (n — i)- — c], 

 nn'(n + n' — 2) — y = n'[(n +■ n' — 1)- — nn] — i — [n'(n' — i)- — c']; 



desquelles on déduit 



Y = i — c = i' — c'. 



» On peut donc énoncer la proposition suivante : 



» Théorème I. — Si deux sur/aces algébriques F et F' possèdent, en un 

 même point O de l'espace, des singularités quelconques [cï] et [a'j, l'abaisse- 

 ment produit par le point O dans le rang de la courbe gauche, intersection 

 complète des deux surfaces, est égal au nombre des intersections confondues 

 en O de la surface F (r/e laswface F') avec une courbe gauche A^ (^générique), 

 diminué de r abaissement que la singularité \p\ (que la singularité [<^'J) pro- 

 duit dans la classe de la surface F (r/e la surface F). 



» Exemple. — Les singularités [t] et [«r'] sont des points multiples 

 ordinaires, respectivement d'ordres /• et r' (Sr), tels que les deux cônes 

 tangents en O (généraux) soient tout à fait uidépendants entre eux. Dans 

 ce cas, on trouve facilement que la courbe générique Aj. passe par le 

 point O avec/(3r — 4) + (/•— r)(r— / — 2) + i branches, tiont aucune, 

 en général, n'est tangente en O à la surface F ou à la surface F'. D'autre 

 part, le point O diminue de r(r — i)- unités la classe de F, et de r' (r' — i)- 

 unités la classe de F'. On a donc 



/ = /-[r'(3r-4) + (/-- r'){r-r'- 2)4-1], r=r(r-i)=, 



i'=r'\r'(3r - 4) + (r - r') (r - r' - 2) + i], c' = r'(r' - i)=, 



et conséquemmeut y = i — c = i ~ c' = rr' (r -^ r' — 1). En particulier, 

 pour n' = \, r = i, on retrouve l'abaissement ;(/• — i) produit par un 

 point (/■)-ple ordinaire dans la classe d'une courbe plane. 



)> D'une manière tout à fait analogue, on parvient aussi à l'énoncé 

 suivant : 



» Théorème II. — Si deux surfaces algébriques F et F' possèdent, en un 

 même point O de l'espace, des singularités quelconques [a\ et \a'], l'abaisse- 

 ment produit parle point O dans le nombre des plans tangents que l'on peut 

 mener à la courbe gauche, intersection complète de F et F', par une droite issue 

 de O, est égal au nombre des intersections confondues en O de la surface F 



