(8i7) 



(le différentes propriétés : t" la surface ipp passe simplement par la courbe C, 

 intersection complète de F et de F', ainsi que par les deux courbes de 

 contact des cônes de sommet P circonscrits aux surfaces F et F'; 2" le 

 cône de sommet P, circonscrit à la surface Op, se décompose en le cône 

 de sommet P passant par la courbe C et en un cône résiduel, d'ordre 

 (« + «'— i) (« + n'— 2) — /;//. qui est irréductible , en général, pour 

 n ^ n' ; 3" pour /i'= n, la surface Çp (d'ordre in — i), relative au faisceau 

 d'ordre n (F, F') et correspondante au point P, passe par P, et elle a en 

 ce point le même plan tangent que la surface du faisceau, qui est déter- 

 minée par P; 4° pour «'= o, la surface Çp (d'ordre /i — i) coïncide avec 

 IdL première polaire du point P par rap|iort à la surface F; etc. 



» Soient E une droite fixée arbitrairement dans l'espace; P et Q deux 

 points arbitraires de la droite E; n un groupe quelconque de « — /z' plans 

 menés par cette droite. Les surfaces ÇpetcpQ, relatives au faisceau (F, F'. H) 

 et correspondantes aux points P et Q, se coupent, en dehors de la courbe C, 

 suivant une courbe résiduelle A^., d'ordre (^n + n' — i)- — nn' , qui est le 

 lieu des points de contact des plans menés par E tangentiellement aux 

 surfaces du faisceau (F, F. II). 



» La courbe gauche Ap, relative aux deux surfaces données F et F', et 

 correspondante à la droite E, est indépendante des n — n' plans n, et elle 

 jouit, entre autres, des propriétés suivantes : i*^ La courbe A^ passe simple- 

 ment par les points de contact des plans tangents menés par E aux surfaces 

 F et F'; 2° elle rencontre la courbe C en des points (variables avec E), 

 qui sont les points de contact des plans tangents menés par E à cette 

 courbe C; 3*^ pour n' = A^, la courbe A^ [d'ordre (/i — i)(3/i — i)], rela- 

 tive au faisceau d'ordre n '. (F, F') et correspondante à la droite E, ren- 

 contre la droite Een 2(71 — i) points; 4° |)our /?' = o, la courbe A^ [d'ordre 

 (rt — i)-] coïncide avec \a polaire de la droite E par rapport à la surface F, 

 savoir : le lieu des points dont les plans polaires passent par E; etc. 



■» Cela posé, supposons que les surfaces F et F' possèdent, en un seul 

 et même point O de l'espace, des singularités quelconques [g] et | n'^ Poin* 

 déterminer l'abaissement, y, que le point O produit dans le rang de la 

 courbe C, désignons par r (par c') l'abaissement ])roduit par la singula- 

 rité [t] (par la singularité [>:?']) dans la classe de la surface F (de la sur- 

 face F'); et par î (par i) le nombre des intersections confondues en O d'une 

 courbe gauche A^ (générique) avec la surface F (avec la surface F'). 



» Puisque les intersections de Ap- avec F (avec F'), en dehors de O, 

 .sont, ou des points de contact de plans menés par E et tangents à F(àF'), 



