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pour abréger, ' 



(8) *=/ .,dl- I ^^ I or/f, 



et observant que les déplacements c,, !^ ont partout leurs valeurs moyennes 

 nulles, comme comptés justement à partir des situations moyennes (r, z). 

 Nous aurons 



(9) (?.0: ^ 



d{x, z} 



La fonction <ï> est donc ce qu'on peut appeler un potentiel des déplacements . 



» IV. Au même degré d'approximation, l'équation de continuité (4). 

 réduite à ses termes linéaires et différentiée en /, ne conserve que les deux 

 premiers, devenus respectivement les deux dérivées de u, iv en x et -, 

 c'est-à-dire les deux dérivées secondes de 9 en ,r et z-. Le potentiel 9 des 

 vitesses obéit donc à l'équalion indéfinie 



AoÇ) ^ o. 



» D'autre part, d'après (6) et (8), <J; est la dérivée de <p en /, et cp la dé- 

 rivée analogue de <î>. L'équation (5), qui définit '\i, peut donc s'écrire, en 

 la divisant par g, 



^ s p ^ y, i do ^ d'h i d'^<i' 



^'^•^ p^~^'~^^~g-di^''~^'dS~g'dF' 



» A la surface libre où p := o et où z -\-'C = — h, le second membre de 

 cette formule (10) et le troisième différentié en /, donnent les deux rela- 

 tions spéciales 



(1 1) (à la surface libre) h — — - -^ et -r — - -A = o, 



^ ^ ^ ^ ^- dt dz g dt^ ' 



qui, si l'on y fait ainsi z égal à l'ordonnée constante des situations 

 moyennes des molécules superficielles, deviendront, l'une, l'équation de 

 cette surface ('), et, la seconde, une condition y régissant le potentiel © 

 des vitesses. 



» Ce potentiel ç vérifie également une autre condition très simple au 

 fond de l'eau ou pour 2 = 00. Le mouvement y disparaît et la [)ressiony de- 

 vient hydrostatiquement variable en x et z, c'est-à-dire croissante comme 

 pgz, mais indépendante de x, ou de x~uit et, par suite, de l. Donc, 



(') A cela près que l'abscisse moyenne x de chaque molécule y figurera au lieu de 

 l'abscisse actuelle jc -\-^. 



C. !<., 1895, 1" Semestre. (T. CX\, ^ 23. ) '63 



