( I2/,4 ) 



de leurs situations moyennes (de manière que ^ s'annule alors partout) et 

 à des distances convenables^, de ces situations, savoir, à celles où la den- 



site garderait sa valeur efFective. L'expression (3) devenant alors i + ^, 



on aura donc, pour joindre à (2), la troisième équation indéfinie 



^ ' dx dz dx dz dz dx dz 



» III. Commençons par nous bornera cette première approximation, 

 admissible dans tous les mouvements d'amplitude assez faible, où l'on né- 

 glige les carrés et produits des déplacements ^, i^ et de leurs dérivées. Si 

 alors nous appelons 1}, pour abréger, la fonction 



(5) ^ = -'^+g-^ + gL 



? 



les équations (2), réduites à -— t^ — == , ^ _ > donneront, multipliées par 



dt et intégrées à partir d'une époque fixe /„, la même pour tout le fluide, 

 en désignant d'ailleurs par Ug, m\, les vitesses suivant les axes, à l'époque 

 i^, de la molécule (x, z), 





dt. 



» Retranchons de chaque membre sa valeur moyenne prise durant une 

 période 2T, c'est-à-dire, par exemple, de / = /„ à / ^ ^^ + 2T; et, si nous 

 posons 



(6) ,=f\,„^f"'f^fi,„, 



'0 «B '0 



il viendra, vu l'absence de progression des molécules et vu, parsuite, l'éga- 

 lité à zéro des valeurs moyennes de u, w pour chacune d'elles, 



(7) ("'^) 



d{x,z) 



» Ainsi, à une première approximation, un potentiel tf des vitesses ex\sle, 

 savoir la fonction (6) elle-même, dans une eau houleuse. 



» Or opérons sur <p comme nous l'avons fait sur (j/, c'est-à-dire, en multi- 

 pliant (7) par dt, puis intégrant à partir de /„, retranchant des résultais 

 les moyennes de leurs valeurs durant une période 2T, puis enfin, posant, 



