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notation 



I II |/;.^l=n(K,A,^), 

 ^^^ ( in'[/i,k] =^(K^-/K■,/^X•)-^(R,/^X■), 



nous partirons de cette formule, déduite aisément de celle générale d'ad- 

 dition, 



n(a) ± K, h, /.-) = n(o, /^ i) ± n[h, x-l + y log l"!!' ~i''f! ' 



^' ■' '- ' 4 o cln-(cp + /î, A) 



(le laquelle résultera, d'abord en y changeant (p en cp ± K, l'une des deux 

 formules dues fondamentales relatives à la fonction n(x, h, k^, savoir 



(3) n(9 ± 2K, //, /•) = n(o, h, k) ± illfA, /.]. 



puis, en y prenant le signe — et faisant <p = K 4- ? K', cette autre égalité 

 n(R + iR'— K.h,k) 



c'est-à-dire, en vertu des définitions (2), simplement l'expression 



(4) n(iK',h,k) = in'[h,k]. 



» Cela posé, la formule de transformation (i) étant récrite ainsi 



(5) Ui^sc, h, k') = 0(1^:, h', k), en faisant h' ^ ih -h K -\- i K' , 

 donnera, en premier lieu pour .r = R', eu égard à la valeur (4), 



(G) n(R', h, k') = n(/R', h', k) = iU'[h\ k'\, 



et, en second lieu pour j? = R' + /R. en remarquant que l'on aura 

 i(R'4-?'R) = ?R'- R = (R-4-iR') - 2R, 



et tenant compte alors de la formule (3) prise avec le signe — , 



/ n(R' + /R.A,Z-') = n[«(R'-i- iK),/i\k\ 

 l ^n[(R-f-tR') — 2R,A\/,] 



(7) ( =Il{K-hiK',/i',k)~ 2n[/i',k\ 



1 =\u[h',k] -^in'\h',k]\ - 2n[h',k] 



[ =in'[h\k]~n[h',k], 



c'est-à-dire, en ne conservant de ces deux suites d'égalités (6) et (7) que 

 les membres extrêmes, et retranchant ensuite la première de la seconde, 



