( I209 ) 



module sont complémentaires l'un de l'autre semble offrir une impor- 

 tance particulière, en premier lieu, parce qu'elle fournit l'expression des 

 fonctions d'argument iz-, à l'aide des fonctions d'arguments, et récipro- 

 quement; et, en second lieu, en raison de la réversibilité très connue qui 

 existe alors entre les fonctions complètes relatives à l'un ou à l'autre de ces 

 deux modules. 



» Nous voulons montrer dans cette Note que, contrairement à ce quia 

 lieu pour la fonction de deuxième espèce, cette même transformation par 

 modules complémentaires présente encore les mêmes propriétés en ce 

 qui concerne la fonction elliptique de troisième espèce, sous la réserve 

 d'un changement linéaire du paramètre que nous allons indiquer. 



» En effet, considérant l'expression 



_ r'k-sn{ih + K -+- iK')cn{ih -+- K -+- iK') dn{i/i + K -t- iK' ) sa- zdz 

 ~ J^ I — k'- sn^ ( i/i -+- K + iK' ) sn'^^ 



,, dn(7i — ik' ik'sni/i , , /^"' ,,„ dti //; — i isni/i 



k- -, -. -, rr -, — sn- z Cl z I A'^ r, -. T^sn^zdz 



k CD i/i K en i/i en i/i I en i/i cnili en in 



àn-ih I dn' i/i 



i — k^y-, Tw ^° - / ' n:*" 



k-cn^ih tJ en^ih 



_ r" k'-dn{h, k') [—icn(h, k')] [— sn(/i, k')] sn-'s ds 

 ~X i-dn'{/i,k')sn'z 



comme, en y faisant alors z = ix, d'où dz = idcc, elle deviendra 

 ïl(ix,ih-^-K-hiK',A) 



■[ 



k'-'dn{h, k') icn{/,, k')sn{h,k') ''f}-^'^''J idx 



cn''(a:, A ) 



I — an- {h, k ) ■ ^ 



cn^( j, A') 



_ r'' k'^sn{/,,k')cn{h,k')dn{h,k')sn^j:,k')dx _ . . ,,. 

 ~J_^ [r — sn^(^, A')]-H[i-A'-^sn'-(A,A'')]sn2(x, A:') — "l^''»'* j' 



l'on aura, en rapprochant les membres extrêmes et les intervertissant, 



(i) n(.r, h, k') = li{ix, iA + R + /K.', k), 



ce qui établit le premier des deux faits annoncés, relatif aux arguments. 



» Pour mettre, de même, en évidence le second fait relatif aux fonc- 

 tions complètes, convenant de désigner celles relatives au module k par la 



