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(i -I- xp) (p — i) -\- i substitutions du faisceau, x étant un entier positif, 

 ou nul. 



» (E). Le groupe des substitutions permutables à un faisceau d'ordre/?" 

 sera d'ordre pp"+' (P étant un entier positif). 



» (F). Il n'est pas possible qu'un groupe £2, dont toutes les substitu- 

 tions sont d'ordre p, n'admette comme faisceaux que ceux qui jouissent 

 des deux propriétés suivantes : i° les seules substitutions du groupe £2 per- 

 mutables à l'un quelconque F de ces faisceaux sont celles de F; 2° deux 

 quelconques de ces faisceaux n'ont pas de substitutions communes, hor- 

 mis la substitution identique. 



» Dans le cas R = ^' (yo premier impair) il existe un type contenant 

 (p -h i) faisceaux d'ordre p^ qui ont en commun p substitutions; chaque 

 faisceau est un sous-groupe distingué. Les substitutions génératrices d'un 

 tel groupe sont 



/i=p' h = p k = p 



L = p 



^t — XI XI \'^>'.k^h+p,k-h^l,+ 2p,k—îh- • ■^A+(p~{)p,k-(p-{1h)' 



» Le groupe associé est engendré par les deux substitutions 



V-=P v=p-i 

 y.=t V =1 



(i=p-l V = p 



T = J][ JJ (SS'^T\ S'-^''Si;T\ .... S'+f/'-OH-S^-T'). 



|J. = 1 V = I 



)) Je termine par une remarque concernant ma Note du 16 avril iSpS : 

 Si l'on veut avoir a»^i(mod/3-) avec a<^p-, et a — i ^o(modyD), on a 

 nécessairement a = i . » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur deux formules connexes concernant les 

 fonctions complètes de troisième espèce, relatives à des modules complémen- 

 taires. Note de M. F. de Salvert, présentée par M. Hermite. 



« Parmi les transformations du premier ordre, relatives aux fonctions 

 elliptiques de première espèce, celle dans laquelle l'ancien et le nouveau 



