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projections 37, y, z, u; le carré de la longueur est la somme des carrés 

 des projections, et la direction est donnée par les quatre rapports respec- 

 tifs de la projection à la longueur, désignés par a, b, c, d, ou cosinus 

 directeurs, satisfaisant à la condition que la somme de leurs carrés est 

 égale à l'unité. La projection d'un vecteur R sur une direction R' est dé- 

 finie par 



Rcos(R, R') = B.(aa' -h bh' -l- c r' 4- dd') ^= a' z -+- b' y -+- c' z -+- du. 



» Deux vecteurs sont orthogonaux l'un sur l'autre lorsque leur cosinus 

 relatif est nul. 



» 1° Des propriétés connues du déterminant \a h c d\ à. seize éléments 

 dans lequel la somme des carrés des éléments de chaque ligne est égale à 

 l'unité et la somme des produits des éléments de deux lignes quelconques 

 est nulle, il résulte : 



» Si quatre directions, i, 2, 3, 4 sont orthogonales entre elles, les 

 groupes de quatre éléments, (7,, a.,, a^, «•., b^, b.,, b^, b^, . . ., constituent 

 quatre autres directions également orthogonales entre elles et les projec- 

 tions d'un vecteur quelconque R sur ces directions, œ', y' , z' , u', qui sont 

 données par x' = a,:v -\- b^y -\- c,z -\- dtU, y' ^ o.,a-, . . ., satisfont aux 

 conditions définies ci-dessus pour l'expression du vecteur. 



» Le carré de la longueur d'un vecteur est la somme des carrés de ses 

 projections sur quatre directions orthogonales quelconques. 



» Les équations de transformation des coordonnées de deux systèmes 

 orthogonaux se trouvent établies. 



» 2° On considère trois directions quelconques affectées des indices i , 2, 

 3, et l'on cherche une quatrième direction, ayant l'indice 4. satisfaisant à 

 la condition d'être orthogonale sur les trois premières. Soit A ^\a b c d\. 

 Les trois équations de conditions se mettent sous la forme 



» Désignant par A^, A*, A',', A^' les déterminants mineurs obtenus en 

 supprimant dans A la quatrième ligne et respectivement les colonnes a, b, 

 c, d, et par permutation circulaire à partir de A" afin d'éviter le change- 

 ment de signe, on a 



^ X "i 64 Ci çh ^ I t_ 



^'^ '^t ~ < ~ "^^ ~"^. ~ ^{^yTTÎtyTiKr^iÏÏy " ^' 



» Remarque. — Puisque la solution est toujours donnée par les (i), on 

 conclut de là que trois droites imaginaires de l'espace à quatre dimensions 



