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peuvent toujours être rapportées à un système orthogonal dont un axe est 

 orthogonal sur chacune d'elles. Elles sont donc leur propre projection sur 

 l'espace à trois dimensions dont ce quatrième axe est la normale et sont 

 les droites réelles de cet espace; les longueurs des vecteurs et les cosinus 

 relatifs de deux vecteurs définis plus haut deviennent les longueurs des 

 vecteurs et les cosinus de leurs angles dans un espace à trois dimensions. 

 » On met la valeur de A" sous la forme 



t^l^ \J ï — a\ V I — al \ I ■ 



^ v/i — «2 V/i — a' V^i — a* 



oia les éléments du déterminant sont les cosinus directeurs de trois direc- 

 tions rapportées au système orthogonal Y, Z, U. Remarquons que la droite 



nnagmau-e — =;^ = — = -^a pour projection sur 1 espace x = o la 



, . , ,, v'' — "\ V^J— «? ^^~"\ ^ 1 I 



droite réelle x- — -=^y- ^-=z- — -. — - et que les longueurs 



C^l Ti «1 



R, y/i — «^ , Ra V' — <^a » Rs V I — ^3 ■''O'^t l*^s projections des vecteurs R, , 

 Ro, R3 sur ce même espace, ou, autrement dit, ces vecteurs projetés sui- 

 vant X. On sait que le déterminant a pour valeur le volume du parallélé- 

 pipède avee l'unité de longueur pour arêtes. Par conséquent R, RoRjA^ est 

 le volume de la projection du parallélépipède ayant pour arêtes R,, Ro, R;, 

 sur l'espace a; = o. De même pour A*, A'j, Af. D'autre part, on trouve 



/( I — (a, a, + b^bj -t-CoC, + d.d^)'- — (a^a, -h b.^b, -+- c^c, -+- cl.^d,y- j 



\ I — («ifln H- bj).i + c,c. + d^d.y -h 2(a.M3-h ...)(a.|a, + ...)(a, «o + •••) )' 



dont la valeur, d'après la remarque ci-dessus, est celle du volume du pa - 

 rallélépipède construit sur R,, Ro, R3 avec l'unité suivant les arêtes. Les 

 équations (i) donnent donc, en désignant par V ce volume et par V,,-,„ le 

 volume de sa projection sur l'espace a; = o, 



_ K,R,R3 A^ _ vy,,.,, _ 



» On en conclut les deux théorèmes : 



» Théorème I. — Le volume de la projection d'un parallélépipède sur un 

 espace à trois dimensions quelconque est égal au volume de ce parallélépipède 

 multiplié par le cosinus de l'angle de la normale à r espace du parallélépipède 

 avec la normale à l'espace de projection. 



» Théorème II. — La somme des carrés des quatre volumes, projections 

 d'un parallélépipède sur quatre espaces orthogonaux, est égale au carré du 

 volume de ce parallélépipède. 



