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 » Applications. — La sphère imaginaire, qui est à la sphère ce que la 

 sphère est au cercle, a pour équation 



ar- +J^ +=- + «-= R-. 



Les équations de son intersection par l'espace h = o sont 



(2) x^ + j2 _f_ -^ ^ j^2 et u = o. 



» Par une substitution orthogonale dans le plan ZU, on a 

 u = u' coso — z' siiicp, 5 = u' sino -1- z' coscp, 



d'où il résulte pour les équations (2) 



ît; H- éi + 5 — — ï et u' = z' tango. 



)) Jva première est l'équation de la projection de la sphère sur l'espace 

 u' =r o. On en conclut: 



» La projection d'une sphère de rayon R située dans un certain espace, défini 

 par sa normale, sur un autre espace dont la normale fait avec la première un 

 angle ç, est un ellipsoïde de révolution aplati. L'axe de l'ellipsoïde est dans le 

 plan des deux normales et la longueur du demi-axe est R ces cp . 



M Celte projection est dans l'espace u' = o et, par une seconde substitu- 

 tion orthogonale dans le plan U'Y, on trouve par le même procédé, pour 

 l'équation de la projection sur l'espace m"= o, dont la normale u" fait un 

 angle cp' avec u' , 



f! y j" _ 



R^"^ R^cos^o'"*" R^cos^o ~ '' 



ellipsoïde dont les trois demi-axes a, b, c sont égaux à R, R coscp', R cosç, 

 d'où il résulte : 



» Par deux projections successives d'une sphère on obtient un ellipsoïde à 

 trois axes inégaux. 



» En appliquant le théorème I aux éléments cubiques de volume, soit 

 de la sphère, soit de l'ellipsoïde de révolution, on obtient le volume de 

 l'ellipsoïde à trois axes inégaux, en multipliant celui de la sphère par 



coscp cosç', ce qui donne 3 iraic. 



)) On trouve les propriétés de trois diamètres conjugués en considérant 

 trois diamètres orthogonaux quelconques de la sphère. » 



