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 » Cela posé, mulliplions l'équation indéfinie ^2-7=0 par -r et par un 

 élément dxdz de l'espace qu'occupent les situations moyennes du liquide 

 en question; puis intégrons ternie à terme par parties, à la manière ordi- 

 naire, dans tout cet espace, savoir, d'une part, entre les deux limites con- 

 stantes :;, l'une finie, l'autre infinie, où t s'annule, et, d'autre part, entre 

 les deux limites également constantes a;„, a;,, où t et sa dérivée en x 

 prennent les mêmes valeurs. Les termes intégrés ou relatifs au contour de 



l'aire / l dxdy ne donneront rien; et il viendra simplement 



(•3) -ff{^^,^-^,)dxdz^o, 



c'est-à-dire t = o partout comme au fond. 



» II. Ainsi, la seconde relation (il) est vérifiée quel que soit ^. D'ail- 

 leurs rp y étant fonction de o^ = u/, son second terme revient à -j-\, 



ou encore (vu 1 équation AoO — o) a — -r^- 

 » Cette relation s'écrit donc aussi 



et elle exprime que la somme ç H -^_ conserve, tout le long d'une ver- 



ticale quelconque {x, y) de l'espace considéré, la même valeur zéro qu'au 

 fond. Comme il en résulte alors l'égalité de -^ à — ^<p et, par suite, pour 

 ç, une formule telle que 



où F désigne une fonction arbitraire, l'équation A^o = o devient 



O 



F" + ^ F = O. • 



Or celle-ci impose à la fonction ¥(x — tùt) la forme C sin ^^^-^ — '—-, 



avec C positif, abstraction faite, dans l'arc du sinus, d'une constante arbi- 

 traire qu'annulera un choix convenable de l'origine soit des abscisses x, 

 soit des temps/. Enfin, l'équation (8) donnera simplement, pour le po- 



