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tentiel <î> dont les dérivées partielles en a; et :; sont les déplacements | et ^, 



(.5) 



cî»=C^."^cos ^^-"-"'^^ =C-e""^cos(7:f -::^ 



OU 



et, par suite, T = i/-- 



« Il en résulte pour E et ^ les valeurs pendulaires de Gerstner, puis, en 

 substituant la première expression (i5) de $ dans le troisième membre 

 de (lo), la formule simple/j = "^g^, montrant que chaque molécule éprouve 

 durant son mouvement, du moins à une première approximation, une pres- 

 sion constante, égale à celle qu'elle subirait à l'état statique si, dans cet 

 état, elle occupait sa situation moyenne effective (.r,z). Or, à cette pre- 

 mière approximation, elle pourrait, en effet, l'occuper; car la même valeur 

 (i5) de (!>, ou plutôt ses dérivées E et (^ en x et z, portées dans l'équation 



de continuité (4) réduite à ses termes linéaires, donne simplement -^ ^ o. 



C'est bien dire que le déplacement vertical X,^, au-dessous des situations 

 moyennes (a;, s), propre à conserver au fluide censé mis en repos la den- 

 sité qu'il a dans l'état de mouvement, a la même valeur pour toutes les 

 molécules évoluant autour d'une même verticale (a-, y), et s'annule ainsi 

 à tous les niveaux comme au fond, où le repos persiste ('). 



» III. Les lois de Gerstner étant ainsi démontrées nécessaires à une 

 première approximation, il y a lieu de passer à une approximation plus 

 élevée, en gardant, dans les équations (2) et (4), les termes non linéaires. 

 Comme nous pourrons substituer à ceux-ci, sauf erreur très petite par 

 rapport à eux-mêmes, les expressions pendulaires précédentes de E et X,, 



qui donnent — -j-| — = — ^2(^' 0' ^^^ deux derniers termes de (2) devien- 

 dront ensemble 



et ces termes, transférés dans les premiers membres, permettront encore 



(') J'avais déjà indiqué en i885 les diverses parties de la démonstration précédent^, 

 mais en adoptant pour variables .r, ; les coordonnées actuelles et non les coordon- 

 nées moyennes de circulation. (\oir p. ^21 de mon N'olunie intitulé Application des 

 potentiels à l'équilibre et au mouvement des solides élastiques, avec des A'otes 

 étendues sur divers points de Physique mathématique et d'Analyse.) 



