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le carré du module desdites fonctions elliptiques étant dès lors, respec- 

 tivement dans chacune de ces six formes, représenté par le rapport : 



(2) 



» Cela étant, il est clair que ces différentes formes d'expression n'offri- 

 ront d'intérêt et d'utilité pratique pour les applications que si l'on est en 

 possession de formules qui permettent de passer à volonté de l'une à l'autre 

 de ces six formes, par le moyen de substitutions déterminées, de manière 

 à pouvoir vérifier, en toute occasion, l'équivalence de deux résultats, fort 

 différents d'aspect, auxquels on aura été conduit pour le même problème, 

 suivant la manière dont on aura dirigé le calcul. 



» La question ainsi posée sera résolue, pour les intégrales elliptiques de 

 première espèce, par les formules connues de la théorie de la transforma- 

 tion, que l'on trouve dans tous les Ouvrages relatifs à la théorie des fonc- 

 tions elliptiques, mais elle pourra sembler embarrassante pour les inté- 

 grales de deuxième et de troisième espèce, relativement à la transformation 

 desquelles on ne trouve d'indication dans aucun de ces Ouvrages. 



» Nous allons montrer que cette lacune est pleinement comblée, quant 

 à l'objet très limité spécifié tout à l'heure, par les formules que nous avons 

 données dans deux Notes antérieures (28 mai et 18 juin 1894), pour la 

 transformation des fonctions elliptiques de deuxième et de troisième 

 espèce. 



« En effet, on aperçoit de suite, entre les six modules (2), les cinq rela- 

 tions 



d'oii il suit qu'en prenant pour ancien module k le premier module k,, si 

 l'on adopte la lettre / pour représenter, avec un indice spécial, chacun 

 des nouveaux modules, et que l'on convienne de faire à l'avenir 



k, — k, ki = /o, k^ = /, , ^3 = 4, k^ — lj, k^ = /,, 



les mêmes relations s'écriront avec ces nouvelles notations 



72 1 /2 , _ p t'2 /■! i. — JL. 



l„— Ji> '1 — I K — K , t^_ ^j _ ^„, 



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