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CORRESPONDANCE. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'intégration des équations linéaires à 

 l'aide des intégrales définies. Note de M. Ludwig Schlesi.vger, présentée 

 par ]VI . Poincaré. 



« La transformée de Laplace (voir Poinc\ré, American Journal, t. VII) 

 d'une équation linéaire à coefficients entiers de degré m, 



n 



(A) D^(y) = ^M^)^.-o, 



A =0 



peut être définie de la manière suivante. Soit z une variable indéterminée 

 et formons 



(i) D,(c-) = A,(e-), 



en désignant par Aj(;i) une expression différentielle linéaire d'ordre m, qui 

 se détermine complètement à l'aide de la relation (i), si l'on remplace dans 

 le premier membre les dérivées de e^^ par rapport à x, par celles par rap- 

 port à z. Alors la transformée de Lnplace de l'équation (A) n'est autre 

 chose que l'équation adjointe de Az(u) ^ o, et réciproquement, l'équa- 

 tion adjointe D^((v) = o de (A) est la transformée de Laplace de 

 ^^(u) = 0. Si, au lieu de e'-^, on prend| l'expression (s — .r)^~' et si l'on 

 pose 



alors l'équation d'ordre m -+- n, 



(B) i».(«)=2?v^^);:î';';=-. 



v = o 



a tel rapport avec (A), que 



(G) D,[(z-ccf~'\ = W.[(^-cc)^^'"''\. 



Pour t^o cette équation se réduit au théorème célèbre d'Abel et de 

 Jacobi sur le changement du paramètre et de l'argument dans une équa- 

 tion linéaire. En désignant par w une fonction quelconque de x, par A un 

 chemin d'intégration, on déduit de (C) et de la relation connue de La- 



