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£irands que les autres, savoir — o^ et la dérivée de — /) en x;, qui ne s'éva- 

 nouissent pas avec //, c, (f. Or, cette circonstance pourrait nécessiter des 

 discussions délicates quand, pour former l'équation des forces vives, nous 

 multiplierions respectivement les quatre équations (i) par 



(it, '.', (r, p) (Ixdydzdt 



et intégrerions leur somme dans un volume fini de fluide; car il viendrait 

 des produits du premier ordre de petitesse en u, r, w, à côté d'autres 

 du second, et les uns devraient, par suite, être évalués à un degré 

 d'approximation plus élevé que les autres. On élude très simplement cette 

 difficulié en introduisant, au lieu de la pression p, sa petite partie non 

 hydrostatique V = p — ^gz (qui est de l'ordre de — p^C), c'est-à-dire en 

 posant p = p o's -h P. Il vient ainsi, au lieu des équations indéfinies (i) et 

 des conditions ci-dessus à la surface libre ou au fond, les relations sui- 

 vantes, où tous les termes sont du même ordre de petitesse en u, v, \v : 



p(m', v', w') 



(3) ', d {x, y, s) dx dy dz 

 I du f/r dtv 



\ dx dy dz ' 



(4) (Vourz = — /i') — gy = o, — Gj=:o, P — SX,,= pgh, ii'= — A'; 



(5) (Pour:;^co) m = o, ^ = 0, w = o. 



» Ce seraient les équations de mouvement d'un liquide sans pesanteur où 

 la pression moyenne se réduirait à P, mais dont la surface libre supporte- 

 rait du dehors la pression normale variable pgh, ayant, dans l'instant dt et 

 par unité d'aire, un travail égal au produit de pgh par l'abaissement cor- 

 respondant de la surface suivant le sens qui lui est normal. Or, ce travail 

 revient, si on le rapporte à l'unité d'aire de la projection horizontale de la 



même surface, au produit de ^gh par l'abaissement — -r- dt de celle-ci dans 



le sens vertical. Il est alors, pour chaque élément dn du plan des ccy, à 

 coordonnées fixes données (x,y), —dr!^ghdh=^ — d(^r, pgh-da^, c'est- 

 à-dire qu'il égale la diminution, durant l'instant rf/, de l'expression ^pgh-da. 

 En d'autres termes, l'énergie potentielle de pe5a«?ewr se trouve fictivement 

 remplacée par une énergie superficielle de ressort, égale à ^^gjh'- du pour 

 toute étendue finie Jdr, = J'Jdxdy de la surface libre, considérée en pro- 

 jection horizontale. 



