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qui transforment la relation (i) en celle-ci 



2^2 _( p^^ry (p'--r- 



(2) p^q 



satisfont à la question dans toute sa généralité, c'est-à-dire quelles que 

 soient les valeurs (entières, rationnelles, ou irrationnelles) qu'on attribue 

 àpetq. En particulier, lorsque p et q, donc aussi leur produit pq — a, 

 sont des entiers impairs, la relation (2) fournit toutes les solutions du pro- 

 blème en nombres entiers; celles-ci correspondent aux différentes décom- 

 positions de a en deux facteurs, chacune à chacune, et il n'en existe pas 

 d'autres (' ). Elle comprend d'ailleurs le cas où l'un des facteurs p, q est 

 l'unité, l'autre facteur étant alors égal à a, ce qui est la seule expression 

 possible du nombre a en deux facteurs entiers /7, q, si a est un nombre 

 premier, et toujours l'une de ses décompositions si a est un nombre com- 

 posé. 



)) Au sujet de cette formule (2), où le premier membre est une fonction 

 symétrique de petq, i\ y a lieu d'observer que ces mêmes quantités figu- 

 rent seules dans le second membre, affectées des mêmes coefficients et 

 exposants, et y sont tellement associées quant aux signes, qu'après avoir 

 effectué les développements indiqués par l'exposant 2, et grâce aux réduc- 

 tions entre les termes semblables, elle devient identiquement/)- q^=zp^q^. 

 » Existe-t-il une propriété analogue à celle-là lorsque, n étant différent 

 de 2, on a affaire à la formule (i), dont le premier membre p"q" est pa- 

 reillement symétrique par rapport aux seules quantités p, q1 Telle est la 

 question précise qu'on se propose de résoudre, en étudiant quelles sont 

 les fonctions algébriques (monômes, binômes ou polynômes) qui y pour- 

 raient satisfaire. D'ailleurs, puisque ce sont des fonctions binômes qui 

 réussissent dans le cas de « = 2, comme on vient de le rappeler, c'est par 

 ce type que nous allons commencer l'examen, en essayant d'abord des 

 fonctions d'une composition anologue, telles que 



c = y.p' -hy.q' et b = 7.p' — X r/'. 



(') Au premier abord, on pourrait croire que les valeurs c= ^"^ ~^' et A= P'^l^~^ 



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fournissent une solution d'un autre type; mais c'est là une simple apparence, car 

 dans ce cas, p^ q'' étant égal à a\ l'un des facteurs/;., ou cj, est l'unité, et l'autre est a 

 lui-même, et le type de la formule ne change pas. 



