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» Donc, quelque hypothèse que l'on fasse sur leur composition, les 

 formes binômes sont inadmissibles. 



» 2° Les mêmes objections, aggravées par une multiplicité croissante 

 des termes composant les développements de c et è à la /t"""* puissance, 

 se présentent si l'on attribue à ces quantités c et 6 des formes trinômes ou 

 polynômes. La chose est trop évidente pour qu'il soit nécessaire d'entrer 

 à cet égard dans des détails qui n'entraîneraient qu'à des redites. 



» 3° Si p et q, au lieu d'entrer dans c et 6 avec des exposants entiers, 

 • comme on l'a supposé jusqu'ici, y figuraient avec des exposants négatifs 

 (qui introduiraient l'opération de la division), ou fractionnaires (intro- 

 duisant des radicaux), l'impossibilité d'obtenir, dans de telles conditions, 

 l'identité algébrique de deux membres, serait, s'il est possible, plus mani- 

 feste encore, puisque les radicaux, ou bien les dénominateurs en/j' ou q' , 

 subsisteraient, sans réductions ultérieures possibles, dans ceux des termes 

 que la soustraction c" — t" n'aurait pas etïacés. 



» l\° Il ne reste donc à examiner que l'hypothèse de la forme monôme. 

 Celle-ci ne pourrait évidemment être que ^/jy, afin que l'élévation à la 

 puissance /i"^™" fît apparaître le terme //'ç'", mais alors les trois quantités 

 a, b, c seraient pq, 't~^pq, "k-^pq, et, en supprimant le facteur commun pq, 

 la relation (i) se réduirait ii i = V,' = V^, moins générale en ce que l'indé- 

 terminée a n'y figure plus, qui, dans ces conditions restreintes, n'a d'ailleurs 

 rien de contradictoire, l'une au moins des quantités 1,,1.^ étant alors irra- 

 tionnelle. Elle est d'ailleurs toujours inadmissible, même pour n = 2, 

 quand on passe à l'énoncé restreint de Fermât, car )., et Xj sont alors des 

 nombres entiers, puisque, d'après cet énoncé, c et b doivent être des 

 entiers, et l'on sait que, pour /i > i , la différence des puissances /i"^'"^' de 

 deux nombres entiers ne peut être égale à l'unité. 



» in. En résumé, on aboutit à la conclusion suivante : 

 » Théorème. — Pour n'^2, il n'existe pas de fondions algébriques, 

 binômes ou polynômes, de p et q (le produit pq étant égal à a), qui, mises à 

 la place de cet b dans Informulé a" = c" — b", devenant ainsi p^q'^ = c" — b", 

 en rendent les deux membres identiques. 



» Les formes monômes font seules exception, mais à la condition que les 

 indéterminées soient réduites à deux dans la formule, la troisième étant néces- 

 sairement alors l'unité. Cette forme devient elle-même incompatible, si les trois 

 indéterminées a, b, c doivent être des nombres entiers, comme l'exige l'énoncé 

 de Fermât. 



» Remarque. — Ce théorème algébrique dénîontre seulement que, pour 



