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courbures, les secondes, aux variations des arcs, les 

 troisièmes , aux variations des courbures. 



1" Formules relatives aux courbures. Les unes se rap- 

 portent aux courbures inclinées, les autres, à la courbure 

 de la surface. Les premières sont capitales, car comme 

 elles se rapportent à un élément nouveau, elles sont nou- 

 velles, et , comme cet élément est un principe de solution, 

 elles ont une puissance de transformation sur les formules 

 trouvées soit par Gauss , soit par ses successeurs. Ces for- 

 mules sont au nombre de deux : la première est celle qui 

 donne la composante de la courbure inclinée suivant le 

 plan langent. C'est la formule (7) du mémoire de M. Gil- 

 bert, c'est la formule (14) de ma théorie des coordonnées, 

 dont je fais un usage incessant depuis 1850. (Voyez les 

 Comptes rendus.) M. Gilbert reconnaît l'identité de ces 

 deux formules (V Institut, n° du 22 janvier 1868). La se- 

 conde formule, non moins importante que la première, est 

 celle qui donne l'expression de la composante normale de 

 la courbure inclinée. Cette ex|tression est remarquable en 

 ce qu'elle est linéaire par rapport à la deuxième courbure 

 géodésique et à la courbure normale de l'une des lignes 

 coordonnées; elle est double de forme et exactement 

 donnée par les formules (12)' et (12)" de mon mémoire 

 sur la courbure des surfaces (Revue des Sociétés savantes, 

 tom. Yl, page 411, 1864). M. Gilbert donne également 

 celte formule, c'est la deuxième du n'' 2 du § IV de son 

 mémoire; il en fait souvent usage dans ses transforma- 

 tions, mais il paraît ignorer que je l'ai donnée avant lui. 



La courbure de la surface s'exprime aussi au moyen des 

 composantes normales, des courbures propres et des cour- 

 bures inclinées des lignes coordonnées. J'ai donné plusieurs 

 expressions de cette courbure au n° o de mon mémoire 



