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MiM. Liouville et Bonnel en 1851. « Ce qui offre quelque 

 iiiléivt et niônie quelque difficulté, dit M. Gilbert, dans le 

 numéro cité de rinslUul, c'est d'arriver directement, par 

 des considérations géométriques très-simples, à l'expres- 

 sion remarquable de la mesure de la courbure de la sur- 

 face. » Voici quelles sont les considérations dont fait usage 

 M. Gilbert : il prend la double variation du sinus de l'angle 

 d'une direction x avec un des arcs coordonnés, d'abord 

 par rapport aux deux paramètres et puis par rapport aux 

 mêmes paramètres, pris dans un ordre inverse; il identifie 

 les résultats et il tombe sur une équation qui se transforme 

 en l'équation (8) de son mémoire. Quel est le procédé dont 

 je me suis servi moi-même dans ma tbéorie des coordon- 

 nées curvilignes? J'ai pris la variation double, non pas du 

 sinus, mais du cosinus de l'angle d'une direction quel- 

 conque avec un arc coordonné, d'abord par rapport à deux 

 paramètres, et ensuite par rapport aux mêmes paramètres, 

 pris dans un ordre inverse; j'ai identifié les résultats, et 

 j'ai obtenu non pas une équation, mais trois; ce sont les 

 formules (51) de ma théorie; les deux premières renfer- 

 ment comme cas particulier la formule de Gauss, et la 

 dernière renferme aussi comme cas particulier les deux 

 formules (22) de M. Gilbert relatives aux variations des 

 composantes normales des courbures. 



Le tour de démonstration est le même dans les deux 

 cas, aussi direct dans l'un que dans l'autre; mais ma dé- 

 monstration est plus générale; aussi, au lieu de me donner 

 une seule formule, celle de Gauss, formule (8) de M. Gil- 

 bert, elle me donne encore celles relatives aux variations 

 des courbures normales que M. Gilbert est obligé de dé- 

 montrer plus loin et à la démonstration desquelles il con- 

 sacre plusieurs pages in-^** de son paraprapbe VII. La seule 



