PROPRIETIES NOUVELLES 



ET CURIELSES DES KOMBRES. 



Voyez ce que peut le gdnie ! il a fait de M. Wheastone, petit fa- 

 bricant d' instruments de musique, un des plus illustres physiciens de 

 I'An^leterre et du monde; le createur de la telegraphie electrique ! 

 M. Wheastone quitte un instant la physique pour aborderla science 

 si difficile des nombres, et il arrive d'un seul coup a constater une 

 foule de proprictos merveilleuses qui avaient echappe aux plus ha- 

 biles mathematiciens. Exposons-les en quelques mots. 



Une meme pui;:^sance n" du nombre «, pout etre obtenue par I'ad- 

 dition d'un nombre n de termes en progression arithmdtique. On 

 peut ainsi former une grande variete d' arrangements triangulaires 

 en progressions arithmdtiques, dont les sommes sont les series des 

 Carres, des cubes et des autres puissances des nombres naturels. 

 Le theoreme general, ddcouvert par M. Wheastone, peut etre 

 enonce comme il suit : 



Le premier terme d'une progression arithm(^tique de n termes, 

 dont la raison ou la difference commune entre deux termes conse- 

 cutifsestf/etdontlasommeestegaleart- , est/i^""'' -{-'-d[\ — n]. 



Premiere application. — Nombres carres : a est egal a 2. Le 

 premier terme de la progression est par consequent n-{-'-d{\ — n). 



Cela pose : 1" chaque nombre carrd «' est la somme d'une pro- 

 gression arithmetique d'un nombre n de termes dont le premier 

 est 1 et dont la difference est 2. On a : 



1 = 12, 1 + 3 = 22,1 + 3+5 = 32,1 + 3+5 + 7 = 42,1 + 3 + 5 + 7+9=52, 

 1 + 3+5+ 7+9+11=62, 1+3+5+74 9+11+18=72... 



II en rdsulte que chaque nombre carr^ est forme, ce que Ton sa- 

 vait deja, par I'addition successive des nombres impairs, en com- 

 men9ant par I'unite ; que la difference entre deux carres est ou un 

 nombre impair ou la somme de plusieurs nombres impairs cons^cu- 



tifs. 



De plus, chaque serie de nombres impairs peut etre divisee en deux 

 autres composees de nombres impairs alternes, c'est-a-dire pris de 

 deux en deux, et dont les sommes respectives sont les deux nom- 

 bres triangulaires adjacents ou se suivant imm^diatement dans Tor- 

 dre des nombres triangulaires. La somme de ces deux derniers 

 nombres est, commc on le salt, un nombre carrd. 



Exemple : 

 5 + 3 + 5 + 7 +9+ll + 13 = (l + 5 + 94-13)+(3 + 7 + H)=. 28+21=49=72 



