COSMOS. 645 



2" Chaque carrd n"- est la somme d'une progression arithmotique 

 de n termes, dont le premier est \ [a -}- 1), et la difference com- 

 mune 1. On a : 



1 = 12, li + 2i:=22, 2 + 3 + 4=3^ 2i-|-3i-l-4i-|-3i=z42, 3-|-4+3-f-6-f-7=o2, 

 3J + H + Si + 6i + 7i-f8i = 62, 4 + 3+64-7+8 + 9 + 10 = 72. 



On voit par la que chaque carre d'un nombre impair est la somme 

 d'autant de nombres naturels consecutifs qu'il y a d'unites dans sa 

 racine. II en rcsulte encore que chaque carre de nombre impair est 

 la difference entre deux nombres triangulaires dont les bases sont 

 respectivement (3 n -f 1) et n. En effel, par cela meiiie qu'il est 

 la somme d'une suite de nombres naturels, le carre du nombre 

 impair dont il s'agit est la difference entre deux series de nombres 

 naturels, commen9ant chacune par I'unite; or, chacune de ces deux 

 series estun nombre triangulaire ; done, etc. Ainsi : 



72=: 4+5+6-1 7+8+9+10=l+4+5+6+7+S+9+10-(l+2+3)=oo-6; 



55 et6 sont deux nombres triangulaires, dont les bases sont 3 et 10, 

 et I'on a bien 10 = 3.3 + 1. 



Onverrait encore que des series dont les sommes sont les carres 

 des nombres impairs, peuvent etre prises de telle sorte que placees 

 a la suite les uns des autres, elles forment une progression non en- 

 terrompue de nombres naturels, commen9ant par I'unite et dont la 

 somme est un nombre triangulaire; ainsi Ton a : 



(l>+;2+3+4)+(5+6+7+S-l-9+10+ll+12+13+elc.=l2+3-+92+272+..+3n2 



et cette derniere somme est par consequent le nombre triangulaire 

 qui a pour base 1 + 3 + 9 + 27 + . . . + 3 «. 



Seconde application. — Nombre cube : a est egal a 3. Le pre- 

 mier terme est re -{-^d(l — n). Cela pose ; 



1° Chaque cube n^ est la somme d'une progression arithmctique 

 de n, termes dont le premier est I'unite, et dont la difference 

 ^ = 2(/z + l). On a : 



1;=!'% 1 + 7 = 23, 1+9 + 17 = 3^,1 + 11+21+31=4", l + I3 + 2b+37+49=S3, 

 l_}.13 + 29 + 43 + S7 + 71 = 6^ 1 + 17+33 + 49 + 63+81 + 97 = 7'. 



2" Chaque cube n^ est la somme d'une progression arithmetique 

 de II termes, dont le premier est la racine n, et la difference la. 

 On a : 



1 = 13, 2 + 6=23, 3+9 4-13 = 33,4 + 12 + 20 + 28=45, 3 + 13+23+33+45=33, 

 6 + 18 + 30 + 42 + 34 + 66 = 63, 1+21 -f- 33 + ^9 + 63 + 77 + 91 = 73. 



