6fiO COSiMOS. 



Les Jeiniers termes de ces series sont les nombres triangulaires 

 alternalifa ; si on les divise respeclivement par les premiers termes, 

 les quotients sont la serie des nombres impairs. 



3° Chaquecube n^ est la somme d'liiie progressinn arithnietique 

 de n termes , doi'.t le premier sera ri^ — « -j- 1 et la dilfcTence 2. 

 On a : 



l=:;l^ ,-1-1-5 = 25, 7 + 9+11 = 3", 13+15+17+^9=4^ 21+23+25+27+29= 5^ 

 31+33 + 35 + 37+39 + ^11 = 65, 43+45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 = 73. 



On remarquera que I'ensenible de ces progressions, placees au- 

 dessous les uncs des autres, est I'arrangement triangulaire des nom- 

 bres impairs dans leur ordre naturel. Chaque cube est la somme 

 d'aiitant de nombres impairs consecutifs qu'il y a d'unites dan^i sa 

 racine. Cette proposition avait deja ete trouvee par !e comte d'Ad- 

 hemar. Le theoreme connu que la somme des cubes d'une succes- 

 sion quelconque de nombres naturels, commen^ant par I'unite, est 

 egale au carre de la somme des racines ou au carre du nombre 

 triangulaire correspondant, est une consequence immediate de ce 

 qui precede ; on a en efFet : 



13+23 + 3'- + 43_,„r,_ri_^2 + 3 + 4... + «r = a [i/;(.7 + l)2]. 



La somme de toute s^rie de nombres impairs commen^ant par 

 I'unite, ^tant, comme on I'a vu, le carre du nombre des termes de 

 la serie , la somme des nombres de chacun des triangles formes 

 par I'arrangement triangulaire des nombres impairs est necessuire- 

 ment (^gale au carre d'un nombre triangulaire. On verrait aussi sans 

 peine que chaque cube est la difference entie les carres de deux 

 nombres triangulaires consecutifs, et que la difference entre les 

 carres de deux nombres triangulaires quelconques est la somme de 

 deux cubes consecutifs. En cherchant !a difference entre les carres 

 de deux nombres triangulaires qui sont de simples cubes, on etablit 

 les egalites suivantes : 



33+ 4'- -t- 53 = 63. 113+123+133 + 143=203. 



3" Chaque cube «'' est la somme d'une progression aritlimeticiue 

 de n leni'.es, dont le premier est le nombre triangulaire -^n \n -j- 1) 

 et la difference // ; on a : 



1 = 13, 3_j_5_98^ + 9 + 12=33, 10+14+18+22=43, 15+20+25+30+35 = 53, 

 91 + 27 + 33 + 39 + 45 + 51 = 63, 28 + 35 + 42+49 + 56 + 63 + 70 = 73... 



Chacun des nombres de ces series e:st hii-meme la somme d'une 

 piogression arithnietique de n termes. Considerons par exemple la 

 serie qui donne le cube de 5 ; on a : 



