COSMOS. 6A7 



15=l + 2-{.34-4 + 5 

 20 = 2+3 + 4 + 54-6 

 25 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 

 30 = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 



;^5 = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 



Ces noiiibres forment un cam; et leur somme est eg^ale au cube 

 du nombre qui occupe Tangle siiperieur a droite ou I'angle inferieur 

 a gauche. La somme des noinbres en diagonale est le cane corres- 

 pondant, et dans le cas d'un nombre impair, les sommes des nom- 

 bres des lignes moyennes, horizontale et verticale est aussi ce 

 meme carre. 



Lichtenberg avait deja signale la relation qui precede dans les 

 termes suivantes : Si a e^t un nombre entier et ^ la somme detous 

 les nombres naturels depuis 1 jusqu'a a, on aura : 



flS = -^ + (.^ + a) + [■-' + 2 o) + (.4 -J_ 3 a) + [^ + (a — 1) a] 



4" Chaque cube n^ est la somme d'une progression arithmetique 

 de n termes, dontla premier est (« — 2j-, etla difference 8; on a : 

 0+8=25, 1+9+17 = 33, 4 + 12+20+28 = 45, 9 + 17+25 + 33 + 41=53, 



16 + 24 + 32 + 48 + 06 = 5"', 25 + 33 + 41 + 49+57 + 65 + 73=73. 



Toutes celles de ces series qui sont formees d'un nombre impair 

 de termes contiennent deux nombres carres impairs cons^cutifs. 



La progression arilhmelique non interrompue des nombres pris 

 a partir de I'unite, et dont la difference constante est 8, presente, 

 lorsqu'elle est disposee sous forme triangulaire, des particularites 

 curieuses : les premiers termes de chaque ligne sont les carres des 

 nombres impairs dans leur ordre regulier; les sommes de tous les 

 nombres de deux lignes consecutives est le cube d'un nombre impair. 

 On deduit de cet arrangement I'egalite suivante : 



(2/;+l)« = l + 8.X«+l). 



D'oii Ton conelut que elia(]ue nombre triangulaire multiplie par 8 

 et augmente de I, est egal au carre d'un nombre impair ; ou que le 

 carre d'un nombre impair quelconque diminue de 1 est divisible par 

 8, et donne pour quotient de la division un nombre triangulaire. 



TroitsicDie application. — Puissances superiewes a. la troi- 

 sieme. — M. Wheastone se borne a citer un exemple. Chaque 

 quatriome puissance //' es-t la somme d'une progression arithmeti- 

 que de n lermes, dont le premier est «■, et la difference 2 «-. 



1=1*, 4 + 12 = 2^, 9 + 27 + 45 = 3^, 16 + 48+80 + 112 = 4', 

 25 + 75 + 125+ 150 + 225 = 5', 36 + lOS + 180 + 252 + 324 +396 = 6*. 



