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des Sciences de Sain'- P^tershoiirg. 



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In der That gewâhit die bei dieser Untersuchung als 

 Grundlage dienende Formel, welche aussagt, dass der 

 Krummimgshalbmesser der abgewickelteu Curve (Ji) 

 unveriinderlich sein muss, keinen zum Vei'suclie einer 

 Intégration einladenden Anblick. Dièse Formel ist fol- 

 gende: 



{Edp+Fdq)(^ i dGdqJ£d2f y{Fdp+Gdq)[{dEdpJ^^dif 



'^^^'^'(%à(i^%dp) H- (EG-r-)dfd[ 



Eine wesentliche und fiir weitere Untersuchungen 

 sehr vortheilliafte Vcreiufachung dieser Formel ent- 

 stelit, wenn man sich die Argumente p und q so ge- 

 wiihlt denkt, dass nicht allein jF= 0, sondern aucli 

 nocli E:^ G wird; eine Walil, die zwar oft mit grossen 

 Reclinungschwierigkeiten verbunden, aber doch immer 

 moglich ist und daher im Folgenden als gesclieben 

 vorausgcsetzt werden darf. 



Setzt man daher in obiger Formel i<'= und 

 E^ G, so verschwindet die erste Zeile rechterhand 

 gànzlich und man erlialt: 



dE 

 dq 



dp)^EWd(^); 



zugleich ist ds^ = E{dp'-+- dq'). 



Es sei dp^ -t- d(f = da", da eus Û=:d'p, da sin ^ = dq., 

 also ds = VE . f?CT, so verwandelt sich vorstehende 

 Gleichung in folgende: 



E^df 



^^Eda^{'^miâ-'^JjcoiO)-^E\h-Ci)iiO-''dtgO, 



welche sich nacli leichten Reductionen auch so schrei- 

 ben lasst: 



E 



h 



dVE . .. 

 dp 



dVE 

 dq 



coaâ H- VE 



do 

 da 



und durcli Multiplication mit dp folgende Gestalt er- 

 langt : 



/dVE ,„ ^, dVE 



Edp /àr AU . ,, 



-^ = ( -.— sin ■ 



h 



, - COS (9 ) dp H- 



dq I ^ 



VEd sin Û. 



Wird hier fiir , dp gosetzt : dVE — -^ dq , 



dq 



SO 



kommt: 



_^_Edp 



^= d{VEsuï^] j- {dp cos6' -+ dq m\â), 



also schliesslich : 



Edp 

 h 



■ d{VEmW)- 



dVE 



dq 



do. 



Dies ist die Differentialgleichung der Curve klirze- 

 sten Umrings auf einer beliebigen Flache in môglichst 

 einfacher Gestalt. 



dVE 



Wenn E von q unabhjlngig, also -^ = ist, so 

 erhalt man sofort das Intégral: 



VE . sin U : 



cEdp 

 J h 



Const. 



Dieser Fall tritt l)ei Umdreliungsflachen ein und gilt 

 mithin auch fiir andere Fliichen, welche durch Bie- 

 gung jener entstehen , auch ohne selbst Umdre- 

 liungsflachen zu sein. Sei z die Drehungsaxe, q der 

 Drehuiigswinkel, s der Bogen der erzeugenden oder 

 Meridian-Curve, also 



a; = >• cos 3 , 2 = r sin g , z = f\r) -, 



ds = Vdt' -H dz^ = dr VTh- (/V)', 



so wird das Linearelement auf der Umdrehungstlâche 



ds, 



Vdi^ f^d<f = /• ")/{y )' H~ dq' = rVdf'^- dq\ 



also — ^= dp und VE = /■, wodurch die obige Glei- 

 chung in folgende iibergeht: 



■y ■ÂwO 



Crds 



Const. 



Dièse Gleichung erinnert unmittelbar an die bekannte 

 Eigenschaft kiirzester Linien auf Umdrehungsfliichen, 



fur welche 



und r sin = Const. ist. 



Es sei ^ — fiir s = s' so erhalt man: 



r sin d = 



rds 



I. 



wo das bisher unbestimmte Vorzeichen rechterhand 

 so gewàhlt ist, dass fiir s < s,' sin^* positiv wird. 



Da 2tc f rds den Flacheninhalt einer Zone zwischen 

 den zu s und s gehôrigen Querschnitten ausdriickt, 

 so besteht die Eigenschaft der Curven kiirzesten Um- 

 ringes auf Umdreliungsflachen darin, dass fiir jeden 

 Punkt einer solchen Curve das Produkt rsiné* dem 

 Flacheninhalte der von s' bis s reichenden Zone der 

 Umdrchungsflache proportional ist. Es sei J rds = Es, 



Fs'~Fs 



also r sin ■ 



und tg^ 



Fs — Fs' 



Wird hiei- fur tg Û dessen Werth || = ^ eingesetzt, 

 so ergicbt sich als Gleichung der Curve: 



