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Bulletin de l'/tcadéinie Impériale 



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7 (ÎS 



Fs - Fs' 



:V7jV- 



■{Fs — Fs')f 



Das (loppelte Vor/eiclien zeigtj dass die Curve in sym- 

 raetrisclie Halften zerfiiUt, welclie durcli eineu Bogen 

 der Meridiancurve s gescliieden werdeii, der die Axe 

 der Curve gcnannt uud fiir welclien q = gesetzt 

 werden ruag. Zu bcidcii Seiten diescr Axe wachst der 

 Drelmiigswiukel q von Null an mit waclisendem s ganz 

 auf gleiclie Weise bis zu einem Maximum q', welches 

 fiir s = s eintritt, wo der Meridian-Bogen die Curve 

 bcriilirt. Die Grenzwcrtlie von s ergeben sicli aus 

 deu Bedingungcn ds = und 7iV" — {Fs' ■ — Fsf = 0, 

 seien sie s** und s", r° und /' die dazu gehorigen r, so 

 hat man 



kr' = Fs'— Fs'\ Itr" = Fs" — Fs'; .... III. 

 daller 



)^Fs" H- r"Fs'^ j _ Fs" — Fs" 

 r''-t-r" ' ~^~:^-"~i • ■ 



Fs' 



IV. 



wodurcb die Constanten s und li bestimmt werden, 

 wenn man s" und s" als gegeben lietraclitet, wie es 

 fiir das Folgende am bequemsten ist. Da r stets po- 



J-s 

 rds mit waclisendem s und 



s liegt notliwendig zwischen s° und s". Zwisclien den 

 Grenzen s" und s" darf r niemals gleicli Null werden; 

 wohl aber kann an einer dieser Grenzen, etwa s", r" — 

 sein, in welcliem P'alle die Curve an dieser Stelle die 

 Axe z scbneidet; ich scliliesse jedoch aucli diesenFall 

 fiir jetzt aus, uni ilin naclilier /u betraclitcn. 

 Nach Vorsteliendem bat man 



{R^Ji-r—(Fs' — Fsf). V. 



Indem s von s weiter wàclist, wird Fs' — Fs negativ, 

 daher iiiinmt von da q wieder ab um den Winkel 



r" 



I ils Fs — Fs' ■;■ 



(I == I ^"vj? , VI. 



ff I ds F 

 J$' 



so dass der ganze Drebungswinkel von s*'biss"betragt: 



(ls_ 

 , r 



Fs^Fs 

 VR • 



VII. 



Fiir die Grenzwcrtlie s" und s" ist f?s = 0, also tg = 

 ^ unendlicli oder 6* =; ± ,^ ; die Curve sclineidet 

 also an diesen Stelleu den Meridian untoi' recliten 

 "Winkeln. 



Das Vorstebende gewàhrt die Mittel, um folgende 

 Aufgabe zulosen: anfeinerUmdrebungsflacliesindzwei 

 Punkte gegeben und durcb eine belicbige Linie ver- 

 bunden ; es soll von einem dieser Punkte zum anderen 

 eine zweite Linie von gegebener Liinge so gezogen 

 werden, dass der von beiden Curven nunmebr ganz 

 uinsclilosseue Flaclienraum so gross als niôglicli sei. 



Zur Lôsung dieser Aufgabe'miissen die Wertlie von 

 s" s' s" und h aus den vorliegenden Bedingungen erst 

 erinittelt werden, wofiir sicli die notbigen Gleicbungen 

 leicht aufstellen lassen; docb wiîl icli dabei nicbt ver- 

 weilen. 



Es kann aber auch folgende Aufgabe gestellt wer- 

 den: Eiu in sich gescblossener Fadcn von gegebener 

 Liinge soll auf dicUmdrebungsflàcbe so gelegt werden, 

 dass er durcb zwci gegebene Punkte gelit und den 

 grosstmoglicben Flaclienraum umfasst. 



Die Curve des Fadens muss der Gleicbung II Ge- 

 niige leisten, naclidem die Constanten // , s", s', s" den 

 Bedingungen der Aufgabe gemass bestimmt worden 

 sind. Wenn nun die beiden obigen Intégrale q und q" 

 (V u. VI) einander -gleicli sind, so entstebt eine ge- 

 sclilossene Curve, wie verlangt werden muss; wenn 

 aber q' von q" verscbieden ist, so scbliesst die Curve 

 sich nicbt. Angenommen. es sei von beiden Integralen 

 q' das grossere , so vorliUift dii^ Curve von einem 

 Sclieitel A ausgebend (in welcbem g = 0, 8 = 8", 

 (^ = ^\ nach beiden Soiten der Axe AB zuerst bis 

 zum griissten Drebungswinkel '/,' den sie in F und F' 

 errciclit, wo s^s' (^ = 0; von da an miliert sie sicli 

 wieder der Axe AB, aber iiur bis zu den Scbeiteln G 

 auf der eineii, G' auf der anderen Seite von AB; fiir 

 dièse Punkte G und G' ist q = BG =^ q' — q" s = s" 

 und wieder = - oder eigentlicb (V = — - ^^ ; im 

 Punkte 7? ist q = 0, s = s". Zwisclien 6' und G' bleibt 

 also eine Uifnung, die, ini Bogen des Quersclinitts 

 gemcssen, '2r"{q' — 3") betragt. S. Figur 1. 



Bemerkt inaii abei-, dass dieser zui- Ordinate s" ge- 

 liorige Quersclinittsbogen GBG' in jedein seiner Punkte 

 der Gleicbung II Geniige leistet, weil fiir ibii .s = s", 

 E = (IIIi und (Is = ist; dass dieser Ivreisbogen 

 die Curve in iliren Endpunkten (î und G' beruhrt, 

 also stetig in sie iibergelit: dass es von der anderen 

 Seite eine den Bedingung<'ii der Aufgabe entsprecliende 

 gescblossene Curve geben und dass dièse der Glei- 



