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des Sciences de Saint -Pétersbour)». 



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chung II geniigeii muss ; so bleibt kein anderer Schluss 

 iibrig, als dass der Krcisbogen GBG' der gcsucliten 

 Curve als cin nothwcndiger Theil angehùrt. 



Figur 1. 



a £ &' 



Wird dièse Curve mit Hiilfe einer angelegten ab- 

 wickelbarcn BerûbiiiugsHacho abgewickelt, so verwan- 

 delt sicli der grôsstc Tbeil derselben in einen Kreis- 

 bogen vom Halbniesser //, der eiiigeschaltete Kreis- 

 bogen aber wieder in einen Kreisbogen, dessen Halb- 

 messer der Wertli von *~ fiir s = s" ist. Aiif dièse 



ar 



Weise bleibt der Kriinimungsbalbmesser der abge- 

 wickelten Curve zwar constant, ei'bâlt aber in ver- 

 scliiedenen Abtbeilungen der Curve ungleiche Werthe, 

 ein Umstand , welclier dem Begriffe einer Constante 

 keiueswegs widerspricbt. Docli sind iiber die vorlie- 

 gende Frage weiter gclienile Untersuclmngen zu wûn- 

 sclien, die der Zukunft vorbehalten bleiben miissen. 

 Die Forderung aber, dass die Aufgabe in der Ge- 

 stalt, in welcher sie so eben ausgesproclien wuvde, auf 

 eine gesclilossene Cui've fiUii'e, scheint luir niclit zu- 

 riickgewiesen werden zu kônnen und die Gleichung II, 

 welcher nacli gehôriger Bestimmung der Constanten 

 s" und s" die Curve geniigen muss , gestattet keine 

 andere als die obige Deutung, sobald ([ von <[' ver- 

 schieden ist, wie es iui AUgenieinen angenoiuiuen wer- 

 den muss. 



Das Intégral VI verdient eine naliere Betraclitung. 

 Es werde zur Abkiirzung mit J bezeiclinet; man bat 

 also 



s gedaclit. Die Gleichung der entspreclienden Meri- 

 diancurve erhalt man aus der Bedingung (^V = 

 1 — (^^V; die Curve und mit ihr die Flaclie werden 

 also unmoglich, wenn f^j > 1 wird. Setzt man je- 

 docli kr fiir »•, so lilsst sich die Constante /,■ immer klein 

 genug annehmen, so dass zwischen deu Grenzen s" und 

 s" von s, 1 — f'^ i^)' iil^erall positiv und die durcli 

 s = /iT bestimmte Curve moglich bleibt. Dièse Con- 

 stante k entspricht einer Biegung der gegebenen Fliiche, 

 welclie eine Umrollung genannt werden kann, indem 

 das Linearelement der Flache durch Vertauseiiung 



von r mit kr und q mit ~ niclit veriindert wird, wenn 

 zugleich ds uugeixndert bleibt, mitliiu 



/=\ds]/ 



1 



A-^(Jf austatt z 



=idsy 



dsl 



gesetzt wird. Durch die Vertauscliung \on /• mit kr 

 gelit Fs in /.Fs iiber. h bleilit nngeiindert (IV); daliei- 

 verwandelt sich das Intégral J in J' = '^- = '' ~^-. 

 Bei der Betraclitung dièses Intégrais kann man also 

 den Factor k ausser Acht lasseii. Die Grosse s ist 

 ein Mittelwerth zwischen s" und s"; im Folgendeu 

 werde ich zur bequeineren Bezeichuung s"=a, s":=h. 

 s' = m setzen. a und h sind iiberall als positive Gros- 

 sen zu denken. 



h = 



R 



Es sei r- 



1 //' 



-1 



■.s\ Fs 



6« 



SO wird m 





(a+h) 



und nach leichten Reductionen 





()"-*- a» 



X 



(b" 



-H1 



6n-t-i_„n-i-i 



(&"-s"»);! 



] IX. 



also 



J 



ds /w"-»-! — .s"^-l 



"' a 



VB 



)■ 



J = 



VU 



^q —q 



VIII. 



In dieser Formel wird r aïs eine beliebige, aber stets 

 réelle, positive, endliclie und einwerthige Function von 



Tome XXI. 



Es sei n = oder /■ = const. (Cylindertlaelie). so wird 

 m = '^^ und J= 0. 



Es sei n= \, r=:s (Kegclflaclie), so wird ;;( = Vab, 

 J=0. 



Gelegentlich sei hier bemerkt, dass fur die Kugel in 

 der allgemeinen Formel VIII, r — m\s m setzen ist; 



n + b 

 COS — ç,- - 



dabei wird cos m = — ^^ und J= 0. 



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