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Bulletin de r/tcadéinie Impériale 



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Es sei >t = 2, so wird m = i/"^2^r^i ^^^ aus IX 

 folgt : 



E = (s — a) {b — s) {s' ■+- '^ (s -i-a]) (s" -+■ ^ (s -»-6)) 

 = {s — (i){b — s) S. 



Setzt man dalier s = a cos 9^ ■+- h sin 9" = 

 —s — • 5— COS 29, so wird 



, I 2(i9 m' — «2 



oder wenn tg 9' = l/r-_ 



, ist, 



'1 = 



2d<f m^ — s' 



72 ■ "ys~ 



^2 

 2 (îç s' — »»' 



VS 



J'^' 



T,.. 1 1 • 1 1 a loga -t- i)Iog6 



h = alos- == ^log-: iiiul weim hier /r — (slog-) 

 = 7? gesetzt wird : 



r 



j = 



s^ds log - 



s'^ds log ' 



VR 



J a 



s-ds loa — 



VR 



Wie mau sieht, fiihren scliou die einfachsten F.ïlle 

 auf sehr sclnvierige Intégrale. Icli liabe einigo Zali- 

 lenbeispiele durcli ineclianisclie Quadratiireii berech- 

 net; die AVertlie vou q imd q" kameu eiiiander zieiii- 

 licli nahe, aber weiin dies aucli iioch mehr dei' Fall 

 gewesen wilre, so wiirde docb ilire Gleichheit daraus 

 nicht folgeii, die sich aiich analytiscli gar nicht be- 

 weisen liisst, weil sie ebeii iiii Allgemeineii nicht be- 

 steht. Ob aber die Bedingung J= nur in den obeu 

 genannten bckannten Filllen oder in welchen anderen 

 Fiillen sie noch erfiillt wiid, verma'g ich nicht '/n ent- 

 scheiden. 



Wenn /■"= ist, so hegt der zu s" gehorige Scheitei 

 der Curve in der Drehnngsaxe z. In diesem jetzt 

 nocli zu betrachtenden Falle ist es passend s" ^ zu 

 sètzen inid das Integra! Fs = ^rds von s = anfangen 

 zu lassen. Alsdann erhalt man ans IV 



Fiir r = s und ftir r = sins (Kegel- und Kugel- 

 fliiche) wird dièses q" = ^. 



Fiir cine durch Drehuug der Cycloide uni ihre 

 Lilngeuaxe entstandene Flâche wu'd r = s — ^ ; 

 I ist der Durchmesser des rollenden Kreises und die 

 Liingenaxe = ^ tc ; ihren Anfangspunkt nenne ich A. 

 Soll die Curve kiirzesten Umringes durcli A gehen, so 

 hat man s" = a = 0, s" = h, Fs = ^-^ {^l — ^V daher 



/« = :^,. = I . — ^' oder wenn c = 1 gesetzt wird, 



/i = ^ und Fs = 0, also s'= oder »* - 0, und q'= 0, 



n 

 <1 = 



fi" 

 ds 



Fs 



h = 



b 



b J 



r» 



<1 = 



ds 



i-f y/,2(i-i)^-.2(i_|.y 



Jo 



Dièses q driickt den Winkel zwischen zwei Meri- 

 dianebenen aus, von denen die eine durcli die Axe 

 der Curve, die andere durch die Tangente der Curve 

 im Sclieitel A gelegt ist. Wird z. B. & = 1 gesetzt, 

 so tinde ich q ungefjihr gleich 120'\ Bezeiclmet man 

 mit B den zweiten Sclieitel der Curve und legt durch 

 B die Meiidianebene sx, fiir welche 3 = 0, so um- 

 sclilingt die Curve die Fliiclie in der Art, dass sie sym- 

 metriscli auf beiden Seiten der Ebene sx, mit einer 

 Spitze in A anfangend , von einer Seite der Ebene zij 

 auf die andere ])is zum Scbeitel B iibergeht. Die Pro- 

 jection der Curve auf die Ebene xy erhalt etwa die 

 durch beifolgende Figur (2) versinnlichtc Gestalt. 

 AT ist die Tangente an der Spitze A und der Winkel 

 BAT=q'. 



Figur 2. 



Sei noch / = 



h 



Il -t 1 



SO wird 



H > 1 : also /'6' : 



■«()jH-l)6"— " 



