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Bnlletiii de l'/tcadémie Impériale 



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par conséquent la formule (9) devient 



Éliminant pcù au moyen de la formule (5) on aura 



, (duUX ç>eded\ (dS cos ipr) /IQ\ 



^h[^) = — 2^J — 7^ — y^'^f 



Cette formule mène à deux résultats différents, suivant 

 que le point M {x, y, 2) est extérieur ou intérieur à 

 l'ellipsoïde (2). 



Par le théorème 4"" de Gauss on a dans le premier 



CdS cos (pr) ç. 



J p ", 



ce qui donne 



Si X satisfait à la condition 



>1.. 



(i5) 



l'équation (14) aura lieu pour toutes les valeurs de â 

 comprises entre et 1 ; par conséquent, si l'on prend 

 l'intégrale relativement à ^ de à 1, on doit avoir 



poui' déterminer l'effet d'un ellipsoïde sur un point 

 extérieur, quand on connaît l'effet sur le même point 

 d'un ellipsoïde homofocal, dont la surface contient le 

 point. 



Considérons maintenant le cas de M('x, y, s) in- 

 térieur à l'ellipsoïde (2). Le théorème 4™" de Gauss 

 donne alors 



dS cos (pr) 



ï 



et la formule (13) devient 



, ldoU\ 



^4Tt 



'InçiddedX 



a^y 



(17) 



Si l'on prend pour X une valeur qui satisfait à la 

 condition 



-„9 „.9 -9 



«il 



"M 



0. 



Or !i'deU= U, donc 



d, -^ = 0. 



* apy 



(iO) 



Soit X' et X" des valeurs de X qui satisfont à la con- 

 dition (15). Prenant l'intégrale de (IC) entre les li- 

 mites X' et X!,' et désignant par a,' f{,' y,' U' et a",^" ■^", U" 

 les valeurs de a, fi, y, U relatives à ces limites, on 

 trouve 



U" 

 a"P"Y" 



a'p'Y' ' 



c.-à-d. les potentids de deux eU'qjsdîdcs homofocaux qui 

 agissent sur un même point extérieur sont dans le même 

 rapport que les volumes ou les masses de ces ellipsoïdes. 

 Ce résultat comprend le théorème connu de Mac- 

 laurin. 



Si l'on pose X' < X'^ et que le point M se trouve 

 sur la surface de l'ellipsoïde 



œ* w* z^ 



ai -t- X" 



on aura la formule 



•X" 



1, 



U'. 



a"p"Y" ' 



et que l'on fasse varier 6» de à 1 , on trouvera entre 

 ces limites une valeur â^ de â qui sera donnée par la 

 formule 



â,' = -^^H-^-+- -^ (18) 



' a, -H X «2 -1- X «3 -H X ^ ' 



Cela posé, en prenant l'intégrale par i-apport à â 



entre les limites et 1 , et observant que le premier 



membre s'annule pour toutes les valeurs de 6» < t', , 



on trouve 



dx 



'^^{^)- 



Tl^{l—â,") 



ajiY 



Substituant à â^^ sa valeur (18) et prenant ensuite 

 l'intégrale par rapport à X entre les limites X et ~, 



'" ''"'" (±\ _ (JL\ ^ 



La valeur 



xi 

 fe, +X 



1 



«Py 



t. £!_\ 



2 + X O3 + X/ ■/(«,- 



dx 



A)(a2+X)(a3+X) 



s'annule pour X = <n., parce qu'alors 

 a^Y reçoit une valeur infiniment grande du 3'"" ordre 

 et 11 une valeur infiniment grande du second ordre. 

 Ainsi (R\ ^ 



Wy/x 



^^C( 



1 



a;-' 



a,-i-X 



-^\ 



d\ 



ay^-\l ■/(«i-hX) ("a-t-X) («3-t-X) 



(19) 



Quand le point M{x, y, s) est intérieur à l'ellipsoïde 

 donné (7) 



1^ 



■^=1, 



on pourra poser X = dans la formule (19). Alors U 

 représentera le potentiel de cet ellipsoïde et a^Y = 

 Vrtjfl^fflg; la formule (19) donne donc dans ce cas 



