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des Scipncc>!i de Saint - P^lersboiiFs:. 



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, r~/ x^ f- g^ \ dX ,nr.^ 



Quand le point M est extérieur à l'ellipsoïde (7), 

 on se servira du théorcmc de Maclaurin pour ex- 

 primer U au moyen du potentiel do rellipsoïdc ho- 

 niofocal 



rt, -t- X, a, -t- X, 0;j -*- Al 



dont la surface contient \v. point M. Désignant ce se- 

 cond potentiel par i/j et posant rt,-+-X,=a,,ffi.j-f-)i,=^,, 

 fflg-f-X, = Yi) on aura, au moyen de la formule (10), 



Ui _ f ^/ x» _ jg^ _ ^- \ dk .Q.v 



«ipiYi^'^PJx, 1/ n,+X <i2+X n,+x/T^(a,+X)(n-,+X)(a,,+X)V*'/ 



et le théorème de Maclaurin donne 

 u 



Vuia^a^ 



«iPiY,' 



par conséquent 



TCpV'rt,n2'«3 , ( 



U 



a,+X 



X j >^(«^^ ) 



dX 



i>)(«2+x)K+x)'''^'*/ 



Si l'on pose X — );,-i-X,' on aura X' = pour X = X, 

 et on réduira l'intégrale de la formule (22) à une in- 

 tégrale prise entre les limites et ~, comme dans la 

 formule (19), savoir: 



t7 = 



j>~/ «2 y^- z' \ ^x; 



Les formules (19) et (22) s'accordent avec la forme 

 sous laquelle Lejeune - Diriclilet a présenté le po- 

 tentiel d'un ellipsoïde homogène dans son mémoire: 

 Sur un moyen général de vérifier Vexpression du jmfen- 

 f'tcl relatif à une masse quelconque homogène ou Mtcro- 

 gène. (Crellc's Journal Bd. 32, p. 80.) 



Il est facile de voir que les formules (13), (14) et 

 ( 1 7) ont lieu dans le cas où la densité p est fonction 

 de la variable 0"\ Cela posé, on trouvera l'extcntion 

 du théorème de Maclaurin à des ellipsoïdes hétéro- 

 gènes dont les densités sont exprimées par une même 

 fonction de 0". 



Posant 2jç0dd = F(^-) et prenant l'intégrale de 

 l'expression (17) par rapport à â, on trouve 



^xQ = --[^(l)-^('^r^]«^; 

 on aura ensuite pour un point intérieur 



dX 



ou 



0." = - 



2r 



n, -«- X 



•X' 



d\ 



V = Tzya,a,a,\^ [F ( 1 ) — F{ô^-}] y^^^_^ ^^ ^^^^ ^^ („^ ^_ ^^ 



et pour un point extérieur 



f/ = ,ry^^;^4~ [F( 1 ) - F (^V)] 7(;^r^a,.x) («3 - M 



Ces résultats s'accordent avec ceux que M. Chasles 

 a trouvés dans son mémoire: Nouvelle solution du pro- 

 blème de l'attradion d'un ellipsoïde h'térogenc sur un 

 imint cxléricnr. (Journal de Mathématiques pures et 

 appliquées de J. Liouvillc, T. V, 1840.) 



3. M. Mertens, dans son mémoire: Bcstimmung 

 des Pokntials eincs homogenen Ellipsoids (Crclle's 

 Journal, Bd. 70), donne un autre moyen pour trouver 

 directement le potentiel de l'attraction exercée par un 

 ellipsoïde homogène sur un point intérieur ou exté- 

 rieur, en supposant que la surface de l'ellipsoïde, ainsi 

 que le point attiré, sont rapportés à des axes de co- 

 ordonnées rectangulaires quelconques, dont l'origine 

 est au centre de l'ellipsoïde. Le résultat qu'il trouve 

 est celui qui a été donné par Lejeune -Dirichlet 

 dans le mémoire : UntersncJmngcn iihcr ein Prdblem 

 der Hi/drodi/namilî. (Crellc's Journal, Bd. 58.) 



On peut aussi obtenir ce résultat par la transfor- 

 mation dans la formule (22) des coordonnées x, y, z 

 en d'autres rectangulaires rapportées à des axes de 

 direction quelconque , menés par le centre de l'el- 

 lipsoïde. 



Soit 

 F=a„f +ffl22T]Va33Ç'-»-2rt23TQÇ-+-2«Î3iÇ|-H2a,,|Ti = 1 (23) 



l'équation de l'ellipsoïde rapporté à ces nouveaux 

 axes. Désignant, comme précédemment par a^, a„, a^ 

 les carrés des demi-diamètres principaux, et posant 



on aura les trois racines l\,h_,% de l'équation du 

 3"" degré en s: 



a. 



^1 ^111 ^13 



rt.„ — S, a.^. 



^13' ^23 î ^33 ^ 



= 0. 



Soit A^, le déterminant mineur que l'on obtient, en 

 prenant la dérivée du déterminant ^ par rapport à 

 celui de ses éléments qui appartient à la ligne hori- 

 zontale du rang r et à la ligne verticale du rang s, 



