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Biillotin de l'ytcadëmic Impériale 



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et A^j" la valeur de A^^ pour s^6„. La condition que 

 A s'évanouit pour s = 6„ mène aux proportions: 



A "-A "-A "=A "-A "-A "=A "-A "-A " ^24^ 

 "il -"12 '"la — "13 '"22 -"33 — "31 •"32 -"33 • V**/ 



Or, on démontre dans la géométrie analytique que 

 les équations 



g:Ti:Ç==A,;':A.,":A,3» 



appartiennent à la direction du diamètre principal, 

 dont la longueur est SVa^,; par conséquent l'équation 



appartient au plan conjugué à ce diamètre, et la for- 

 mule 



ai,"g-t-Ai^"T)-t-A,.,"g .^g. 



exprime la distance d'un point quelconque (|, t), Ç) à 

 ce plan. 



En vertu des proportions (24) on a 



»\2 — A «A " l\ «\2 ^ n^ n. 



\"l3 ) "11 "22 ) l'*13 I — "11 "33 J 



(26) 



ce qui réduit la formule (25) à 



[Ah''(A„»-hA,,«-hA33»)]5 



Posant dans celle-ci «=1,2,3, on aura les dis- 

 tances du point (g, T), Ç) aux trois plans principaux 

 de l'ellipsoïde, c.-à-d. les coordonnées x, y, s relatives 

 aux axes de l'ellipsoïde. Ces expressions de a;, y, s 

 doivent être substituées dans la formule 



Faisant X = — -, on trouve facilement que 



' \s — fti s — \ s — 6:,/' 



ce qui , après la transformation de a?, «/, s en ê, t), Ç, 

 devient 



^3— cff^.,2...^2) , ^2V (A,."g-HA.,"n-HA,/'g)' ^, 



^fe ^ b; ^^Aji^iAi/'H-A^^n-t-A^nKs-M^^'^ 



OÙ le signe 2 désigne la somme des valeurs de l'ex- 

 pression qui se trouve sous ce signe pour « = 1, 2, 3. 

 Il est facile de voir que 



A„-f-A,,-.-A33 = -|; 



par conséquent, si l'on pose — A = /"(s), c.-à-d. 

 (s~M(s~&2)(s-&3) = As), 



Au"/'(U(s-M 



Développant le carré et appliquant aux coefficients 

 des produits de ê, yj, Ç la règle de la décomposition 

 des fractions rationelles en fractions simples, on trou- 



A„"/'(6„)(s-&„) 



=/^)[^nê'-»-^3^'-^ ^3?'-- 2A,3Ï!Ç-,- 2A3,Ç|.H 2A.,|y]]. 

 Ainsi, si l'on pose pour abréger 



A„g^-f-A,,7i^-i-A33Ç^H-2Arf- 

 on réduira la formule (27) à 



1 



s'I' (g, ri, g) 

 /(s) 



Remplaçant s par — y et posant 



-^(-|)X3^<p(X), 

 on aura l'expression de 0^ en fonction de X 



^A — i(ç -^-^ -t-Ç) ^^x)— 



Il est facile de voir que 



flSjjX -H 1 , rt,,,X , fîjgX 



Ç (X) = ffljgX , ^22^ -I- 1 , «23^ 

 «,3>^, «23>^, ^'33>^-»-l 



et 



X^<I>(|,Tri,Ç) = ^„|2+43ÏlV^33ÇV2^23TQ?+2^3,Ç|-.2^,2ëYl, 



oii ^^j désigne la dérivée du déterminant cp (X) par 

 rapport à celui de ses éléments qui se trouve sur la 

 ligne horizontale du rang r et sur la ligne verticale 

 du rang s. 

 Posant 



^n ^^12 *i3 



(ïjo ^03 1% 



*13 ^^23 ^33 



= G 



