217 



des Sciences de Saint- Pëtersbourg:. 



318 



chacune sera comprise outre deux ellipsoïdes sembla- 

 bles {0) et {0 -+- (W). Le potentiel d'une telle couche 

 est la différentielle de U par rapport ù la variable â, 

 c.-à-d. dgU. Or, si l'on désigne par dS un élément à 

 deux dimensions iufininieut petites de la surface (2), 

 par e l'épaisseur de la couche en un point de dS et par 

 r le rayon vecteur mené à ce point du point fixe 

 M [x, 4/, s), on aura 



d.f/=pf-? (3) 



où l'intégration doit être étendue à la surface totale (2). 



Nous nous servirons de l'expression donnée par 

 G au s s pour l'élément dS. Cette expression peut être 

 trouvée facilement par le procédé géométrique suivant: 



Posant 



et considérant ii, ^', w comme des coordonnées recti- 

 lignes d'un point rapporté aux axes de l'ellipsoïde (1), 

 on aura deux systèmes de points ^|, •»], Ç) et (m, v, îv), 

 dont on peut former deux figures homothétiques, 

 telles, que les volumes ct)rrespondants quelconques 

 auront pour rapport le produit constant aj^Y en vertu 

 de l'égalité 



jdB,d-t\dt. = a^-^\dudvdw. 



L'ellipsoïde (2) a pour figure correspondante une 

 sphère, dont l'équation est 



u^~\-v^ -ï- iv^ = 6^. 



L'élément dS aura pour correspondant un élément 



de cette sphère, que l'on peut exprimer par w6", en 



preuant pour « un élément semblable sur une surface 



sphérique de rayon égal à l'unité. Par conséquent le 



volume zdS aura pour correspondant l'élément uû'dâ 



d'une couche, limitée par les sphères de rayons et 



0-t-dâ. 



On a donc ,„ ^ ,, , /jv 



tdS = oL^^aOhlO (4) 



Preuant la différentielle de (2) par rapport à <? et 

 posant pour abréger 



on trouve facilement que 



ddd=pz. 



Cette relation, jointe à (4), mène à la formule 



dS=a^-^a6p (5) 



qui se réduit à celle de Gauss pour â= l. 



Substituant dans (3) à tdS sa valeur (4), on aura 



d,U=ça§^OhWl'^ (6) 



Supposons maintenant que l'ellipsoïde (1) esthomo- 

 focalc à un ellipsoïde dont l'équation est 



I!^!!!h-^ = i (7) 



Pour satisfaire à cette condition on doit poser 



a2 = «j-»-X, ^2^02-hX, f = fl.3-«-X..(8) 



La différentielle d^U devient alors fonction des deux 

 variables et X. Le calcul de cette fonction par une 

 intégration directe relative à o, dans le cas d'un point 

 extérieur, présente des difficultés que l'on peut éviter 

 par le moyen suivant: 



Divisant (G) par a^y, et prenant la dérivée du quo- 

 tient par rapport à X, on aura 



d,{'^^) = ^mod,\^-=-,o^w\'^...{9) 



La formule 



r = a — xf -H (Y] — ijf -t- (Ç — sf 

 donne 



rdr = (I — a;) d^ -t- (t] — y)d7i h- iK — z)dl (10) 



En différeutiant les valeurs 



on doit considérer u, v, w ainsi que « comme des 

 constantes. Cela posé, prenant en considération les re- 

 lations (8), on trouve 



d^ = ^,dl, dri = ^,d\, di; = ^,dk.{\l) 





Si l'on représente la valeur 



par une longueur portée à partir du point (ç, t), Ç) 

 sur la normale externe à la surface (2), on aura 



^ = pcos{px), ^^ = pcosipy), ^^=pcQs{pz) (12) 

 et ces formules, jointes à (11) et (10), donnent 

 dr = ^p cos (pr) dX ; 



