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des Sciences de i^aiiit-Pétersbourg'. 



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sammlung des «Muséum de l'Histoire Naturelle» zu 

 Paris und eiiis bel Herrn Professer P. v. Jeremejew 

 zu St. Petersburg. 



Sur l'application des fonctions elliptiques aux questions 

 de maxima et minima. Par G. Zolotareff. (Lu 



le 5 avril 1877.) 



Le but de cette note est de donner les solutions de 

 quelques questions de maxima et minima qui sont liées 

 à la théorie des fonctions elliptiques et en présentent 

 une nouvelle application. 



Ces questions sont du genre de celles que M. Tché- 

 bycheff a considérées dans son Mémoire intitulé: 

 «Sur les questions de minima qui se rattachent à la 

 représentation approximative des fonctions*)». 



Je me suis borné à indiquer ici les résultats aux- 

 quels je suis parvenu. Quant aux démonstrations, on 

 les trouve dans mon Mémoire sur le même sujet que 

 j'ai eu riionneiir de présenter à l'Académie, et dont 

 cette note n'est qu'un extrait. 



Problème I. 



Trouver le polynôme de la forme 



a;" — ra" - ' H- 2)2«" ~ ' -H i^g*" 



■Pn^ 



CT ayant une valeur donnée, de sorte que, entre les li- 

 mites x= — 1 eta; = -Hl,il s'écarte le moins pos- 

 sible de zéro. Le problème analogue, lorsque tous les 

 coefficients 



îh,P2 Pn 



du polynôme 



sont indéterminés, est résolu. 



Dans ce cas le polynôme cherché s'exprime très 

 simplement à l'aide des fonctions circulaires. Mais 

 lorsque le coefficient p^ a une valeur assignée d'avance, 

 nous aurons deux cas à distinguer: Dans le premier, 

 qui a lieu, lorsque la valeur de a ne surpasse la limite 

 wtang-^'^^, c'est encore en faisant usage des fonctions 

 circulaires, qu'on trouve la solution du problème sous 

 la forme la plus simple. En effet, en posant 



*) Mémoires de l'Académie Impériale de sciences de Saint-Pé- 

 tersbourg. Sixième Série Tome VII. V. encore Bertrand. Traité 

 de calcul différentiel p. 512 et suiv. 

 Tome XXIV. 



l-^.. = 2(i-.ysin^|, 



.(i) 



f étant une nouvelle variable, la fonction qui s'écarte 

 le moins possible de zéro, sera 



f(^) = (- 



Dans ces formules a est supposé positif. Mais on en 

 déduit aisément la solution qui se rapporte aia cas de 

 a négatif. 



En effet, désignant par g le coefficient de x^~\ la 

 fonction cherchée sera 



i-l)J{-x). 



Dans le second cas , où Ton suppose a supérieur à 

 n tang" ~, la fonction cherchée s'exprime d'un manière 

 très simple par les fonctions Jacobiennes 



H [~^ \ = 2Vq sin îi — vq^ sin 3 m -h . . . . 



0(?^")= 1 — 22cos2M-H22*cos4M-f- 



En effet, si l'on pose 



^sn-(M, A:)-+-Sn2(J,J:) 



sir (u,k) — sn^l— , A- 



K 



(3) 



M variant entre les limites et K'i, pendant que x 

 croît de — 1 à -t- 1 , il vient 



Fia;) = (—!)"§ 

 où L est égal à 





Vk 02 (0) 





,.(4) 



on— 1 



HIHI). 



et désigne le maximum de F{x) entre les limites x^ — 1 

 et a; =; -t- 1. Le module k des fonctions elliptiques 

 qui figurent dans les formules précédentes, est donné 

 par l'équation 



1 



en - dti - \ sn — 



«a 



■(5) 



De ce qui précède, on déduit les théorèmes suivants. 

 Théorème I. S/ la valeur de a ne surpasse pas 

 n tang' ^, le polynôme 



n — I 



■ QX 



■p^x 



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