307 



Bulletin do l'ilcadëmle Impériale 



SOS 



ne saura être inférieur, en valeur absolue, à la limite 



lorsque x prend toutes les valeurs possibles entre les li- 

 mites — 1 et -t- 1. 



Théorème II Si le coefficient g surpasse wtang"^, le 



polynôme 



^«_(ja;"-i-t- 



ne peut être inférieur, pour toutes les valeurs de x entre 

 les limites — 1 et -t- 1, à la quantité 



le module k étant la racine de Véquation 



a 

 n 



2sw- 



cn^'dfi^' 



sn 



2A' 





Problème H. 



Trouver la fonction entière de la forme 



de sorte qu'elle prenne une valeur donnée A pour x = a, 

 a étant supérieur à l'unité, et qu'elle s'écarte le moins 

 possible de zéro entre les limites x = — 1 eta;^-+-l. 



Les formules (2) et (4) donnent encore immédiate- 

 ment la solution de ce problème. Mais dans ce cas le 

 coefficient a s'obtient d'après la condition du problème 

 que la fonction cliercbée prenne la valeur donnée A 

 pour x = a. 



Voici encore deux problèmes qui sont liés à la théo- 

 rie de transformation des fonctions elliptiques. 



Problème III. 



Trouver la fraction rationnelle 



y 



9(x) 



+ («) 



dont les termes ç(a;) et '!^{x) sont du degré non su- 

 périeur à n, de sorte que, pour des valeurs de x com- 

 prises entre les limites — 1 et -+- 1 , 7/ soit inférieur 

 à l'unité, en valeur absolue, et qu'il s'écarte le plus 

 possible de zéro, lorsque x prend toutes les valeurs 

 possibles qui surpassent numériquement ^ , k ayant 

 une valeur donnée moindre que l'unité. En d'autres 



termes, le minimum de la fraction, pour ces valeurs 

 de a;, doit être la plus grand possible, tout en ayant 

 égard aux conditions énoncées. 



Soit, en premier lieu, n — un nombre impair. On 

 aura alors 



1J=X 



1- ,4a- 



sn-' — 



1- ,8K 

 sn^ — 

 n 



i-,,2 2(îL^^ 





n-l 



M=(-l) 



4K SK 



SHC — • snc — 

 n n 



snc- 



2(w- 



iK 8K 

 sn — • sn — 

 n n 



2(n-l)K 



Le minimum ^ de y, correspondant aux valeurs de x 

 qui surpassent j,, s'exprime comme il suit: 



fc« 



[sn — t 



3K 



(M— 2)Z\4 



)* 



En second lieu, si n est un nombre pair, on aura 



y= 



.K 



1- „5K 



,(«—!) A' 



(l-k^sn'i^-xAU- 



Ti^sn^ — 'X^ 

 n 



'"( 



K 3K 



sn — sn — • 

 w n 



n I 



1_,.,„.(^=1^),.' 



En ne considérant actuellement que les valeurs ab- 

 solues des fonctions, on peut énoncer le théorème sui- 

 vant. 



Théorème. Une fraction rationelle, dont les termes 

 sont du degré non supérieur à n et qui ne surpasse pas 

 Vunité entre les limites xr= — 1 et x=^ -^ 1, ne peut 

 surpasser la limite 

 1 



k'^lsn 



K 3K 



sn — • 

 n 



ii.K\i 



i.K\i 

 n j' 



pùur toutes les valeurs possibles de x supérieures à ^^en 

 valeur absolue, [x étant égal à n — 1 ou à n — 3, sui- 

 vant que n est pair ou impair. 



Problème IV- 



Trouver la fraction rationelle 



9(x) 



