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des Sciences de Saint-Pétersbourg:. 



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dont les termes (p(a;) et 'liix) sont du degré non supérieur 

 h n, de sorte 1" qu'elle surpasse l'unité entre les li- 

 mites X = l et x = ^, k étant une constante donnée 

 moindre que l'unité, et soit inférieure à —1 entre les 

 limites a;= — 1 eta:: = — ^; 2" qu'elle s'écarte le 

 moins possible de zéro entre les mêmes limites. 



Comme dans le problème précédent il y a ici deux 

 cas à considérer; celui de n — impair et de n — pair. 



Dans le premier 



x' 

 xl 1+' 



Ml 1 



M-- 



'"■(?>) A'Mf.'')rVM'^'.'') 





?.'■) 

 (?.-) 



'*,.'! '"' 



f->) 



\ 



•"[-«■''j"[,-'"l-"(—^''-) 



>) 



fe' désignant le module couiplôuientaire. Le maximum 

 de y entre les limites x = ±\ et a ^ ± ,- est égal à 



ou, ce qui est le même, à la quantité 



doyit les termes a^x et 'ifx sont du degré non supérieur 

 à n, qui surpasse Vunité entre les limites x = 1 et 

 x = T et reste inférieure à — 1 entre les limites x = 



rC 



— 1 et x = — T, ne saura être inférieure , en valeur 

 absolue, à la quantité 



pour toutes les valeurs possibles de x entre les mêmes 

 limites. 



Il est bon de remarquer que toutes les limites don- 

 nées dans cette note, sont précises. 



n 



1 I e'-(^-^K'k'). 



p = 1 \ n ' / 



Dans le second cas 





M (l^-fc2^»2 (^'^ //)x2){l+Fte2(-^', /c') a;2) . . (1+Ffn2('.^i^',fc')x2 



31 = 



ïï 





»ff.'') 



Le maximum de y est 



i_TT!£Ëf>) 



p=l \ n ' / 



On parvient ainsi au théorème suivant. 

 Théorème. Une fraction rationellc 



9(3;) 



y M.xy 



Sur les nombres complexes. Par G. Zolotareff. (Lu 



le 13 septembre 1877.) 



Dans mon ouvrage intitulé: «Théorie des nombres 

 complexes» (en russe) j'ai considéré la décomposition 

 en facteurs idéaux des nombres complexes, qui dé- 

 pendent d'une racine de l'équation irréductible 



F(a;) = a;"-+-«,«"~'-4-fl,a;"~"-H . . . H-a„ = 0,.(l) 



«,,«„....« étant des nombres entiers ordinaires. Les 



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fonctions entières à coefficients entiers d'une racine de 

 l'équation (1) ont été dites des nombres entiers com- 

 plexes. 



La déiinition des facteurs idéaux d'un nombre pre- 

 mier ordinaire p a été fondée sur la décomposition 

 connue de F{x) en facteurs irréductibles suivant le mo- 

 dule p. Soit 



F{x) = V^^VJ"' .... VJ^' -*-pF^('x), (2) 



F, Fj. . .Fjdésignantdcs fonctions irréductibles suivant 

 le module p et w,, m^. . .m^ des entiers positifs. 



Dans le travail mentionné j'ai exclu de ma recherche 

 des nombres premiers^) tels, que ¥^(x) soit divisible 

 suivant le module p par l'une des fonctions 



V V F 



auxquelles correspond un exposant 

 m, »», .... m, 

 supérieur à l'unité. 



Les fonctions F{x) par rapport auxquelles de tels 

 nombres premiers p existent, peuvent être considérées 



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