311 



Bulletin de rj%cadéinie Impériale 



313 



comme exceptionnelles parmi toutes les fonctions en- 

 tières à coefficients entiers. En outre, pour chacune 

 de ces fonctions F{x) les nombres p sont en nombre 

 limité. 



On sait que tous ces nombres sont des diviseurs du 

 discrimant de l'équation donnée. Je suis aussi parvenu 

 à considérer la décomposition en facteurs des nombres 

 premiers singuliers dont il s'agit. 



Dans cette note je me propose de démontrer le théo- 

 rème fondamental pour ce cas, sans en tirer toutes les 

 conséquences. 



Je vais d'abord éclaircir une différence essentielle 

 qui existe entre les nombres premiers considérés au- 

 paravant et ceux dont il s'agit dans cette note. Les 

 derniers seront dits singuliers. 



Supposons, en premier lieu, que l'équation 



F{x) = 



soit une de colles par rapport auxquelles il n'existe 

 pas des nombres singuliers. 



On aura alors la proposition suivante , si le nombre 

 complexe 



X étant une racine de l'équation (1) et 



désignant des nombres rationnels ordinaires , satisfait 

 à une équation de la forme 



i i-\ 



où les coefficients 



W 



(Iv 32 



% 



= 



•2/ 



sont des nombres entiers, lés nombres 



^o>^ K-^ 



seront aussi des entiers. 



En effet, le nombre complexe y peut être écrit comme 

 il suit 



y — ^ ' 



Co) c, . . .c„_,, C étant des nombres entiers. 



Supposons que C soit divisible par un nombre pre- 

 mier quelconque p. On pourra toujours admettre que 

 l'un au moins des nombres 



ne soit pas divisible par ^J, car, s'il en était autrement, 

 l'expression de y puisse être simplifiée. 

 En posant, pour abréger, 



C=Pp 



nous considérons le nombre complexe 



- , -t- C,« -H C^X^ -H . . . -f- C„ _ lît" ~ ' 



z = Py. 



P 



De l'équation à laquelle y satisfait on tire l'équation 

 suivante 

 J _H P(^/-^ ^ P\/---*- -»- P'g, = 0. . (3) 



En outre, on voit que le nombre complexe 



,n — 1 



•c^x- ■ 



.X 



ne saura contenir tous les facteurs idéaux ûcp, ap- 

 partenants respectivement aux fonctions 



V V V 



plus de 



m. 



fois, car dans le cas contraire 



^0) '^i • • • ^n — 1 

 seraient divisibles par p. 



Or, en supposant que le nombre complexe 

 cp(a;) = Cq H- c^x -H Co^" H- ... -4- c„_,a;"~' 



contienne un des facteurs de ^, celui, par exemple, 

 qui appartient à la fonction V ^ fois , [t étant inférieur 

 à m, nous ferons voir qu'on sera ainsi conduit à con- 

 tradiction. En effet, l'équation (3) peut être écrite 

 comme il suit 

 ci>\x)-*-Ppq,<?'-\x)-i-Pyq,rf>'-\x)-^. . = — P'p%. 



Le premier membre de cette égalité contient le fac- 

 teur idéal de p appartenant à la fonction V le môme 

 nombre de fois que son premier terme (?{x), car les 

 termes suivants en contiennent les puissances supé- 

 rieures. Ainsi le premier membre de l'équation précé- 

 dente contient le facteur idéal dont il s'agit précisément 

 IxZ-fois et le second membre de la môme équation en 

 contient au moins m^fois, ce qui est impossible. Par 

 conséquent tous les coefficients 



doivent être dos entiers. 



