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des Sciences de Saint-Pétersbourg:. 



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Soit, en second lieu, 2> — un nombre singulier. 

 Je reprends l'égalité 



F(x) ^ F"*F, "" . . . V^^'-x-pF, {X) 



dans laquelle je suppose m supérieur à l'unité et 

 -F, (x) — divisible par V suivant le module p. 



Alors cette fonction F^{x) peut être mise sous la 



forme 



F,[x)^AV-^pB, 



A et B désignant des fonctions entières à coefficients 

 entiers. 



Cela posé, nous allons établir que le nombre com- 

 plexe 



ym — 1 ym^ 



h = - 



vr^ 



P 



(4) 



est une racine de l'équation 



ïn $2 • • • Qi étant des nombres entiers. 



D'ailleurs, ce nombre- Ç se réduit, comme on sait, 

 à la forme 



Ç^fo 



-+- C,X-t- C,X^ H- 



■ c» - !«:" 



où l'un au moins des entiers 



Cq, Cj , 



.c 



« — 1 



ne sera pas divisible par p. 



Si l'on multiplie les deux membres de l'équation 

 V'^V,"'K..V;"^ = —pF,{x) 

 par F"* -27^"»' Yjns ^^^^.^^ ,^^_^.^ remplacé F^{x) par 



sa valeur 



AV-t-pB, 

 il vient 



= —p{AV-t-pB)V'^-\n)V,'^^{x). . . F,'"»(a;) 

 ou, ce qui est le même, 



Ç- H- ^Ç H- Br^'-'ixW.'^ix). . . Vj^^ix). 



En désignant para;^ une des racines de l'équation (1 ) 

 et supposant que la valeur Ç correspond à cette racine, 

 on aura 



i;^^f^x,)t-^^{x,) = (5) 



où l'on a posé, pour abréger, 



Soient encore 



a?!, x.T. . .x 



les autres racines de l'équation (1). 



En multipliant les deux membres de l'équation (5) 

 par le produit 



on aura évidemment une équation de la forme (4) pour Ç. 

 Ainsi les nombres complexes 



■\x- 



■ hx" ■ 



■K ,«" 



n — 1 



A = f(x), BV"'-\x)V^\x). 



Vr\x) = 9(a;) 



^0) ^1- • ■ ^„_i étant fractionnaires, ne sauraient sa- 

 tisfaire aux équations de la forme (4) que dans le cas 

 lorsque existent des nombres premiers singuliers. 



Nous ajoutons encore que tous ces nombres com- 

 plexes peuvent être mis sous la forme 



Cq ~f~ Cl X ~f~ CnSC 



^0 ) ^1 ■ 



Q 

 ■<^„_,j Q étant des entiers et Q, en outre, 

 ne contenant que les facteurs premiers que nous avons 

 nommés singuliers par rapport à l'équation donnée; 

 enfin, le discriminant de l'équation (1) doit être di- 

 visible par Q". Nous compterons parmi les nombres 

 complexes entiers les nombres 



Cq -H CiX -+- C2X--t- . 



Q 

 satisfaisants aux équations de la forme (4). Deux 

 nombres complexes entiers a et ^ sont dits congrus 

 suivant le module p, lorsque leur différence est divi- 

 sible par p; en d'autres termes, lorsque le quotient 

 °^ s'exprime en fonction entière de x à coefficients 

 entiers ou est compris parmi les nombres Ç. Cela posé, 

 je vais démontrer un théorème qui est fondamental 

 dans ma théorie. 



«Parmi les nombres complexes entiers congrus à un 

 nombre donné a suivant le module premier il existe 

 toujours des nombres ^ satisfaisants aux équations de 

 la forme 



où l'on a 



■9,r 



■0n-,^-^9„ = Q 



,^— t 



/«„ 



.,=P'~%^, 



9n=PK^(Jn-i=P K-Vffn- 



^) Kf \— 1- • • "^tant des nombres entiers, dont le 

 premier X est positif et le second h^ n'est pas divisible 

 par p.» 



