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Bulletin de r/tcadëmie Impériale 



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Il est bien facile de démontrer ce théorème, si l'on 

 avait exclu quelques nombres premiers j). Mais la 

 démonstration qu'on va lire ne souffre aucune exception. 



Ou trouve d'abord sans difficulté, au moyen de nombre 

 fini d'opérations , un des nombres congrus à a suivant 

 le module p et dont les normes contiennent p comme 

 facteur au moindre degré possible. Nous allons étal)lir 

 que chaque nombre ^ ainsi déterminé satisfait au théo- 

 rème précédent. 



En effet, soit 



l'équation à laquelle satisfait un de ces nombres §, 

 ( — l)"$fjj désignant sa norme. Posons, en outre, 



OÙ le nombre h^ n'est pas divisible par p. Maintenant, 

 pour justifier notre théorème, il faut démontrer que 

 les coefficients r/^_, , g^_^ . . . sont respectivement di- 

 visibles par p*""', p^~^. . . 

 Soient 



h ,, h ,. . . désignant des nombres entiers non 

 divisibles par p. 



Nommons encore par [t la plus grande valeur des 

 fractions 



■K' 



X — )i. 



Si [J. est < 1 , on peut vérifier le théorème dont il s'agit 

 comme il suit. On a, par hypothèse, 



D'où l'on tire 



Xi>X— 1, X„>X — 2. . 

 Par conséquent 



sont respectivement divisibles par |)^~\ j/~", . . . ce 

 qu'il fallait démontrer. Il nous reste encore à exa- 

 miner le cas de [i.> 1. 



Soit p. = -, r et s étant des nombres entiers. Nous 

 ferons voir d'abord que le nombre complexe 



En effet, le nombre 



.P^n 



■m 



est une racine de l'équation 



...-h// «-yi-^ = o 



n * 



dans laquelle aucun des exposants 



Xj-H{j. — X, X2-i-2[i. — X, ...wpL — X 



d'après la définition de ^, ne sera négatif. 

 De l'équation (G) et de ce que le nombre 



est un nombre rationnel on conclut qu'il est entier. 

 Maintenant, en désignant par i un entier positif ar- 

 bitraire, considérons le nombre complexe entier 



ri=p- 





La différence ^ — t], étant divisée par^;, donne pour 

 quotient un nombre entier complexe ; donc ■»] est congru 

 à j3 ou, ce qui est le même, à a suivant le module |9. 



Cela étant, nous allons chercher quelle puissance 

 de p sera contenue comme facteur dans la norme du 

 nombre y]. 



Si l'on désigne par « une racine primitive de l'équa- 

 tion binôme 



u 



il vient 



=«ï>\jy 



ri-t-1 



,Sl-f-l 7 Sî- 



■1 



ri- 



-y<i>W'-^^h^''- 



ri-t- l si_ 



.(7) 



ou 



/ ri-t-l si \ 

 <l>\lf^^^hj^^)^p\ 



rj-+-l 



SI 



-P 



Xi 



n— I 



P'hn' 



est un nombre ontiei'. 



représente le premier membre de l'équation à laquelle 



ri-t-l si 



satisfait p, si l'on y remplace § par j) *'"^V;>"*"^' 



Le nombre arbitraire i pourra être choisi de sorte 

 que parmi les exposants 



*) Nous désignons par la lettre N la norme. 



