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Bulletin de r/tcadémie Impériale 



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Wenn man sicli durcli A und C einen Kreisbogen 

 von der Lange L gezogcn denkt, so wiirde dieser der 

 Aufgabegeniigen, wciiii er ganz innerhalb des gestat- 

 tcten Kaumes fiele. Eskomint aber hier allein die An- 

 uahme in Betracht, dass ein solcher Kreisbogen tlieil- 

 weise die Greuzcurve iibersclireitet und folglich der 

 Anfgabc niclit gcniigt. Offeubar wird dann der Faden 

 einen Theil der Curve AB bedecken, der freie Theil 

 des Fadens aber wird einen oder auch nach Unistanden 

 mehrere Kreisbogen bilden. 



Die Curve AB sei bestimmt durch eine Gleicbung 

 ç)=.-F (9) zwischen dem Leitstralil 6W=p und dem 

 Winkel ACN = 9 (Fig. 1); der Faden bedecke den 

 Bogen AB und bilde denn den Kreisbogen BDC vom 

 Halbmesser r mit dem Centriwinkel BMC=2^; nocb 

 sei < MBC^MGB = y, die Sehne CB = 21. Wenn 

 der "Winkel ^ spitz ist, so liefert das spliilrische Drei- 

 eck JfJ5C folgende Gleicbungen: 



sinr sin^ = ami, cos^siny = cos^, co^irtgi^tg'^ = 1 

 oder auch cosr sin^ = cos^ cosy. 



Ist dagegen ^>l, so fâllt den Mittelpunkt M inner- 

 halb des Kreisabschnittes BDC und der (legenwinkel 

 derhalben Sehne l istnichtmehr p, sondermr — p, also 



cosl sin Y = — cosp , cosrtgptg-^ = — 1 . 



Die Gleicbungen I. reichen aber aucli fiir diesen 

 Fall aus, wenn fiir 7 der entsprechende négative Werth 

 genommen wird. 



Diiïerentiirt man die dritte der Gleicbungen I 



eine Strecke der Curve p> 71:, so brauchte man nur 



? = ' 



zu setzen und die Rechnung mit den aus 



so 



folgt: 



suiy cosY 



' sinp cos^ 



oder ^Y = — 



d^ 



tgram-^ cos^dr, 

 — 3 ; dS -+- Igl sin Y dr 



dem (iegenpole (C) von C entspringenden Leitstrahlen 

 Ibrtzufûhren. Noch sei bemerkt, dass auch der An- " 

 fangspunkt A niclit maassgebend ist, sondeni auf der 

 Curve beliebig gegenT? hin verlegt werdeu kann; denn 

 dadurch wiirden von der Flache F und der Lange L 

 nur constante Theile abgezogen, worauf nichts ankommt. 



Bezeichnet nun 6 den Winkel zwischen der Richtung 

 des Leitstrahls NC und der in der Richtung des wach- 

 senden Bogens s = AN in N gezogenen Tangente , so 

 ist immer ds cos 6* = — rfp, ds %mO = sinff?9. Denn 

 wenn 0{^=CNN') ein spitzer Winkel ist, wàhrend ds, 

 d9 und sinp nach der Voraussetzung positiv sind, so 

 nimmt p mit wachsendem 9 ab, also ist ds-cosâ = — dç ; 

 ist aber stumpf, so wachst p mit wachsendem 9 und 

 man bat wiederum ds cos^ — — dç. Es ist daher 

 ds = f;^ld^nnàcotgO^-J^. 



Die Flache ACB ist =/o*(l — C0SPXI9. 



Es ergeben sich also die folgenden Gleicbungen der 

 Aufgabe : 



/^'^{l — cose)rf9 -+-X = F 



Jo sme ^ 



sinP-i-Z=0. 



Soll nun bei gegebenem L, F ein Maximum sein, 

 so bat man dF—0, dL = 0. Da fiir die Grenze 9 

 der vorsteheudeu Intégrale 9 = 2Mvird, so ergeben 

 sich folgende Bedingungen: 



IL 



cosr) 



^^-'^d^^tglmi^dr, 



also cosprfr -t-d-( =■ — cosrtgPd^ -+- tgl sin ydr. 



Die FlâchedesKreisabschnittesi^DCist 213(1 — 

 — (2P-h2y — 71) = TC — 2Pcos/- — 2y = X, der Kreis- 

 bogen 5DC==2l3sinr = r; noch sei — sinp-sinr-' = Z. 



Fiir den Punkt J ist 9 = und wachst von da mit 

 wachsendem Bogen s der Grenzcurve; ich nehme an, 



ds 



dass dies bis zum Punkte B fortdauert, also dass j- 

 zwischen A und B iiberall positiv ist. Es darf auch 

 angenommen werden dass p<7i: ist; denn ware fiir 



(1 — cos2/)f?9- 



sin 2 ? 

 sin e' 



do- 



dX 

 dY 



d^ 

 dp 



dl 



2 sin/ cosl^_df 



dZ 70 



dX 

 'dr 

 dY 

 dr 

 dZ 

 "dr 



dr — 

 dr^O 

 dr = 0. 



III. 



Es ist aber dX = — 2rfp cosr — 2o!y -+- 2^ sin rdr, 

 daherwegenll. dX-=2cosrtgl-dp-t-2 {^smr-tghin^]dr, 



und 



dX _ 



dp " 



dY 



dp 



dZ 



2 cos r tg l' = 



= 2 sin r 



2 cos Y 

 sinp 

 2s'ml 

 sinp 



sinl^ 

 cos? 



^ =— 2sinr'sinpcosP=- 



2jmP 

 sin p 



cos/sinY, 



woraus ersichtlich folgt; 



dX 



dp 



cos Y cos l^ — ^ sii^ ' cos l — -^p sin Y = . 



