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des Scioiice.«i de Saint •Pétersbourg;. 



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P^ei'uer ist 



2(^ sinr — tgliiny) = 2 sin 1 (J-, — -^,) 



2(3 COS»" 



dX 



dr '' 

 dY 



dr '' 

 dZ 



Q j cosicosY 



^ = — 2sinZsiu(Jcosr = — 2 sin/cus/cosy, 



daher wiecler mit denselben Multii)licatoien 



dx ,2 rfy • 7 7 dZ . 



^cosYcosf — j-sm(cos6 — -j^sinY=0. 



Die Bedingungen III. erfordern alsu uiir uocli fol- 

 gende Relation 



( 1 — cos2i cosY cosr — —- siiu cos^ 



sinô 



dl 



— 2 sin^ cos/ sin Y (P = ^• 

 Naclî dem Vorigen ist 



— cotgâ (= — cotgCBB^); daher verwan- 



8in2^rf!p 



delt sicli vorstehende Gleichung in folgende 



sinf cosTcosY — 



iul'-cosl- sini- cosi^ siuY cosÉ* 



sino sine 



d. i. sin^cosY — 1 H-sinYCOsé* = 

 oder sin(0-*-Y)= 1 



uud Û ■ 



= 



it: 

 ■ Y = 5- 



IV. 



Es ist aber ^ -+- y(= B'BC-t-GBiM) dcr Winkel, 

 welclien der Halbiuesser BM mit dcr Tangente der 

 Grenzcurve in B einsciiliesst; dalier sagt die vorste- 

 hende Gleichung, dass bei dem Maximum von 2*' der 

 Kreisbogen die Grenzcurve beriihren muss. 



Je nachdem der "Winkel û in B sintz oder stumpf 

 ist, ist Y positiv oder negativ, immer aber spitz. 



Wenn neben ÂB noch eine zweite Grenzcurve A^B^ 

 gegeben ist und ein von A ausgeliender, in A' endi- 

 gender Faden innerhalb des Zwischeuraums beider Cur- 

 ven bei gegebener Lange ein Maximum von Flâche eiu- 

 schliessen soll, so folgt ans vorstehendem Satze sogleich , 

 dass der die Curven vcrbindendc Kreisbogen sich an 

 beiden Enden tangeutial an jene auschliessen muss. 

 Wie fiir die erste Curve 6' -*- y = ^, so ist fiir die zweite 

 ^' H- Y — ^, also ô = 0\ d. h. die Sehue 21 schneidet 

 beide Curven iinter gleichen Winkeln. 



Wenn in der gegebenen Curve 9 bei waclisendem 

 Bogen s abwechselnd zu- und abnimmt, so wird fiir 

 das Ma.ximum von Flache die Einschaltung mehrerer 

 Tome XXIV. 



Kreisbogen nothig sein, wie es beispielsweise die Fi- 

 gur 2. versinnlicht, wo^^DEFfl" die Grenzcurve ist, 

 BU und FGCaber taugential in sie eingreifende Kreis- 

 bogen sind, von welclien der zweite durch den voraus 

 bestimmten Punkt Cgeht oder auch eine zweite Grenz- 

 curve beriihrt. 



Wtirde verlangt, innerhalb eines sphilrischen Drei- 

 ecks einen geschlossenen Faden, dessen Liinge kleiner 

 wiire als der Umfang des Dreiecks, aber grôsser als 

 der Umfang des eingescliriebenen Kreises, so zu legen, 

 dass er den grôsstmoglichen Flâchenraum einschlôsse, 

 so wtirde eine aus sphârisch geraden Strecken und 

 tangential in sie eingreifenden Kreisbogen mehr oder 

 weniger gemischte Figur entstehen, moglicherweisc 

 wie abcdefa (Fig 3j. Ebeu so bei mehrseitigen Polr- 

 gonen. 



Um die unbekannten Grôssen der Aufgabe zu finden , 

 wenn nur eine Curve und ein Punkt G gegeben ist, 

 bemerke man, dass nach Obigem â und l bekannte 



Functionen von <p sind, namlich cotgô = r 



dp 



sin pdqj 



fiir 



^ = 2l — f{(^); daher ist | '(^s h- ^^"- = LeineGlei- 



J 8111 p 



chung zwischen 9 und p und weil y = ^ — ^, so bat 

 man noch cos^cos^* = cos^ als zweite Gleichung zwi- 

 schen 9 uud (3. 



Sind aber zwei Grenzcurven gegeben , so denke man 

 sich beide auf ein gemeinschaftliches sphârisches Axen- 

 system m, v bezogen; es sei fiir die erste Curve (Fig. 4) 

 ab^^u, hB = v = f(u), fiir die zweite «6' = ?«', 6'B' 

 = v =f^{a)•, auch sei F der Pol des grôssten Krei- 

 ses ah. Das sphiirische Dreieck PBB^ liât die Seiten 

 PB--^l — V, FB' = l — v', BB' = 21, mit den Ge- 

 genwinkeln PB'B = X, PBB' = tc — t], BPB' = e 

 = ii' — U. Der Mittclpunkt des Kreisbogens BDB' 

 sei 31, der Halbmesser MB = MB' = r, < BMD 

 = D^W = p, MBB' = 3IB'B = y wie friiher; 

 auch sei 



dv 



cos vdii 



= tfA^ 



dw» 



cosw'(iit' 



■w. 



so ist^ — ']; der Winkel, den dieinJS an die Grenz- 

 curve BA und die sphiirische Ordinate Bh gelegten 

 Tangenten mit einander bilden, und den icli zur Ab- 

 kiirzung des Ausdrucks mit ABb bezeichnen will; der 

 entsprechende Winkel an der zweiten Grenzcurve ist 



