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Bulletin de l'Académie Impériale 



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Der Wiukel MBA ist = | - 1}; -- ï, -t- 7 und muss | «oll fiir ^ ein andercr Wertli eingefulirt werden , so 

 rechter sein, eben so < MB'A!= | -h 4.' - X -h T pt zu bemerken, dass die Aufgabe ^ grosser aïs | -h a 



em 



=: ^; also hat man fiir das Maximum von F : 



7] = ,]^ — Y, X = f -4- Y- 



Im Dreiecke PBli ist aber sin yj cos v = sin X cos v' 



oder sin(4i — y) cos z; = sin ((]j' h- 7) cos y', 



daher wenn gesetzt wird 



cos!;cos4i-*-cosw'cos4''=-4,cosî;sin4i — cosy'sinij;'=.4' 



so ist , Atg-^ = A' V. 



Ferner ist 



sinf =^ cos 21 sin y' ■+- sin 21 cosw' cos»]^' -+• y 

 sinz;':= cos2? sin y — sin 21 cosf cos 4» • — y, 



daher {A cosy -t- A' siny) tg / = sinw — sinw' 



(sinu — sin«')cosY ïji 



oder auch 



¥ = 



anzunehmen nicht erlaubt. Denn es sei (Fig. G) B3ID 

 ^ ^ _t. a, B3IH= BMH' = 8, miD = | -na— 8, 

 H' MB = 5 -H a -t- 8 , so ist klar, dass der Bogen 

 E'H ausserhalb des gestatteten Winkelrauraes liegt 

 und also der Kreisbogen nicht von H\ sondern nur 

 von H anfangen darf. Setzt man also ^ = ^-^-a — §, 

 so darf 8 nur positive Werthe erhalten. 



Aus dieser Annahme folgt s sin a = ■/■ cos (a — 8), 



lL = SH-rgH-a-8), F 



= à- sin a cos a-i-r-(^-i-a — 8-4-sina — S.cosa — Sj 



oder F sin a=r 



\ 



1 -t- cos (2a — 20) 



cos a 



Durcli V. und VI. werden y und l bekannt, vvcnn 

 û und «' es sind; denn v und <]^ sind durch m, (/ und 

 <]/ durch «' ausgedriickt. 



Um endlich u und m' zu linden, hat man noch 



cos 2? = sint; sinzj' -+- cosv cosv' cos(«' — u) 



çu cos M, fu cosu' , / 2psiui j 



da auch cosP = — cos^siny eine bekaunte Function 

 von M und u' ist. 



Wie das Vorstehende von der Kugel auf die Ebene 

 zu ûbertragen ist, bedarf keiner Erklârung. In Hin- 

 sicht auf das Maximum habe ich eiuen einfachen Fall 

 in der Ebene niiher untersuclit, wobei etwas zu ver- 

 weilen nicht unpassend sein wird. 



Es sei der Winkelraum zvvischen zwei (ieradcn ge- 

 geben, namlich (Fig. 5) < BAB'=2a, MAB=MAB' 

 — a, AB = AB' = s. Fiir das Maximum der Flachc 

 hat man p = 5 -*- a,ssina = ;,stga = r. Die Formehi 

 ^L = s -+- /^, F= s^ sin a cos a -+- r(p — sin ^ cos^) 

 gében hiernach 

 |L = s(l -i-{l-+- a)tg(x), F= s%œ (1 -f- (^ -+- rt^tga) 



^^Lstga, also die grôsste Flâche F=^- ' . 



^--t-a-i-cotga 



Es versteht sich , dass a nur ein spitzer Winkel sein 

 darf. 



-♦-(■^-i-œ — 8]sina-t-T, sin (2a — 28) sin a|, 

 oder passend geordnet: 



F sin a.-=r'^ {{■^-*~'^) i'iii '''• ~*" '^'"S a 



cos (a — 2S) — cos a — 25 sin a ) 



-^^-- ^ 1 



^L sin a = r I ( T, -»- «■ ) sin a -t- cos œ 

 -H cos (a — 8) — cos a — 8 sin a|. 



Sei cos (a — 8) — cos a — S sin a = 9 (8) und 

 /.| _4_ a \ sin a -♦- cos a. — A, so wird ^ ^^ sin a = 



r (.4 -4- cp (8)), F = r {A -h \ 9 (28)). 



,, ,, ô^cosa ô^sina S'^KO&a 



Da 9 (8) = 2 6~ "*" ~^4 ^ ' 



so ersieht man sogleich, dass fiir 8 = 0, r ein Mini- 

 mum und dci- Quotient ^^ ein Maximum wird. Der 

 Wcrth von F, auf deii es hier allein aukommt. wird 

 folgendcr: ^ . 



1-.-,^ cp (2<^) 



— i^siiia 

 4 



)' 



Die Entwickelung nach Potenzen von 8 giebt: 



F = 



1/^2 sin a ( 1^3 gin a 5* cos a / cosaN | 



4: A {' 3 A 4 



Hiernach ist fiir die Ànderung von F in der Nâhe 

 des Maximums die dritte Potenz von 8 entscheidend; 

 es wiirde also fiir 8 = weder ein Maximum uoch ein 



